【三角函数公式大全】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinα = y |
| 余弦 | cosα = x |
| 正切 | tanα = y/x |
| 余切 | cotα = x/y |
| 正割 | secα = 1/x |
| 余割 | cscα = 1/y |
二、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | secα = 1/cosα, cscα = 1/sinα, cotα = 1/tanα |
三、诱导公式（角度与π/2的关系）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| sin(π/2 - α) | cosα |
| cos(π/2 - α) | sinα |
| tan(π/2 - α) | cotα |
| sin(π/2 + α) | cosα |
| cos(π/2 + α) | -sinα |
| tan(π/2 + α) | -cotα |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα sinβ | [sin(α + β) - sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | -[cos(α + β) - cos(α - β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
九、反三角函数基本性质
| 函数名称 | 定义域 | 值域 |
| arcsin x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos x | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan x | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
| arccot x | (-∞, +∞) | (0, π) |
通过以上表格和文字说明，可以系统地掌握三角函数的主要公式及其应用方式。建议结合实际题目练习，加深对公式的理解和运用。同时，注意不同公式之间的联系与转换，有助于提升整体数学思维能力。
