【三角函数公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于快速解决与角度和周期性相关的计算问题。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | sinθ = a/c |
| 余弦（cos） | cosθ = b/c |
| 正切（tan） | tanθ = a/b |
| 余切（cot） | cotθ = b/a |
| 正割（sec） | secθ = c/b |
| 余割（csc） | cscθ = c/a |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 勾股恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切恒等式 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 余切与正切恒等式 | cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余弦恒等式 | secθ = 1 / cosθ |
| 余割与正弦恒等式 | cscθ = 1 / sinθ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 三角函数值变化 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
| π/2 - θ | sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinA cosB - cosA sinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosA cosB - sinA sinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosA cosB + sinA sinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA tanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA tanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2 sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2 tanθ / (1 - tan²θ) |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
六、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差公式 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积公式 | sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(A-B)/2] |
通过以上公式，可以更灵活地处理三角函数相关的问题。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能增强对三角函数性质的理解。建议结合实际题目进行练习，以加深记忆与应用能力。
