在概率论与数理统计的学习中，联合分布律是一个非常重要的概念。它描述了两个或多个随机变量之间的关系，是研究多维随机变量的基础。那么，如何求解联合分布律呢？本文将从定义出发，结合实例进行详细讲解。
一、联合分布律的基本概念
联合分布律是指对于两个离散型随机变量 \( X \) 和 \( Y \)，其联合概率函数 \( P(X = x, Y = y) \) 表示事件 \( X = x \) 和 \( Y = y \) 同时发生的概率。通常情况下，联合分布律可以通过以下公式表示：
\[
P(X = x, Y = y) = p_{XY}(x, y)
\]
其中，\( p_{XY}(x, y) \) 满足非负性和归一性条件：
1. \( p_{XY}(x, y) \geq 0 \)
2. \(\sum_{x} \sum_{y} p_{XY}(x, y) = 1\)
二、求解联合分布律的方法
求解联合分布律的方法主要依赖于已知的信息，如边缘分布、条件分布或联合概率表等。以下是几种常见的求解步骤：
1. 利用条件分布和边缘分布
如果已知随机变量 \( X \) 的边缘分布 \( P(X = x) \) 和条件分布 \( P(Y = y | X = x) \)，则可以利用以下公式求解联合分布律：
\[
p_{XY}(x, y) = P(X = x) \cdot P(Y = y | X = x)
\]
例题：
假设 \( X \) 和 \( Y \) 是两个离散型随机变量，已知 \( P(X = 1) = 0.4 \)，\( P(X = 2) = 0.6 \)，且条件分布为：
\[
P(Y = 1 | X = 1) = 0.5, \quad P(Y = 2 | X = 1) = 0.5
\]
\[
P(Y = 1 | X = 2) = 0.3, \quad P(Y = 2 | X = 2) = 0.7
\]
求 \( p_{XY}(x, y) \)。
解答：
根据公式计算：
- 当 \( X = 1, Y = 1 \)：\( p_{XY}(1, 1) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \)
- 当 \( X = 1, Y = 2 \)：\( p_{XY}(1, 2) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \)
- 当 \( X = 2, Y = 1 \)：\( p_{XY}(2, 1) = 0.6 \times 0.3 = 0.18 \)
- 当 \( X = 2, Y = 2 \)：\( p_{XY}(2, 2) = 0.6 \times 0.7 = 0.42 \)
因此，联合分布律为：
\[
p_{XY}(x, y) =
\begin{cases}
0.2 & \text{当 } (x, y) = (1, 1) \\
0.2 & \text{当 } (x, y) = (1, 2) \\
0.18 & \text{当 } (x, y) = (2, 1) \\
0.42 & \text{当 } (x, y) = (2, 2)
\end{cases}
\]
2. 直接构造联合分布律
有时问题会直接给出联合分布律的具体形式或表格，此时只需验证其是否满足非负性和归一性即可。
例题：
设 \( X \) 和 \( Y \) 的联合分布律如下表所示：
| \( X \backslash Y \) | 1 | 2 |
|-----------------------|-----|-----|
| 1 | 0.2 | 0.3 |
| 2 | 0.1 | 0.4 |
验证该表是否为一个合法的联合分布律。
解答：
检查非负性和归一性：
- 非负性：所有值均 \(\geq 0\)，满足。
- 归一性：\( 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.4 = 1 \)，满足。
因此，该表是一个合法的联合分布律。
三、总结
求解联合分布律的关键在于充分利用已知条件，灵活运用条件分布和边缘分布的关系。同时，务必注意联合分布律的性质，确保结果的正确性。
希望本文能帮助大家更好地理解和掌握联合分布律的求解方法！
