在物理学中，加速度和位移之间的关系是研究物体运动的重要基础。通过深入分析匀加速直线运动的特点，我们可以推导出加速度公式以及位移差公式。以下是详细的推导过程。

首先，我们定义匀加速直线运动的基本参数：

- 初速度为 \(v_0\)；

- 加速度为 \(a\)；

- 时间间隔为 \(t\)。

根据匀加速直线运动的速度公式：

\[ v = v_0 + at \]

接下来，我们利用速度公式来推导位移公式。位移 \(s\) 可以表示为时间内的平均速度乘以时间：

\[ s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \]

将 \(v = v_0 + at\) 代入上述公式，得到：

\[ s = \frac{v_0 + (v_0 + at)}{2} \cdot t \]

\[ s = \left(v_0 + \frac{at}{2}\right) \cdot t \]

\[ s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

这就是匀加速直线运动的位移公式。

接着，我们推导位移差公式。假设在两个连续的时间间隔 \(t_1\) 和 \(t_2\) 内，物体分别发生了位移 \(s_1\) 和 \(s_2\)。则有：

\[ s_1 = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2 \]

\[ s_2 = v_0 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2 \]

两段位移之差为：

\[ \Delta s = s_2 - s_1 \]

\[ \Delta s = \left(v_0 t_2 + \frac{1}{2} a t_2^2\right) - \left(v_0 t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2\right) \]

\[ \Delta s = v_0 (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a (t_2^2 - t_1^2) \]

利用平方差公式 \(t_2^2 - t_1^2 = (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)\)，可以进一步简化为：

\[ \Delta s = v_0 (t_2 - t_1) + \frac{1}{2} a (t_2 - t_1)(t_2 + t_1) \]

\[ \Delta s = (t_2 - t_1) \left(v_0 + \frac{1}{2} a (t_2 + t_1)\right) \]

因此，位移差公式为：

\[ \Delta s = (t_2 - t_1) \left(v_0 + \frac{1}{2} a (t_2 + t_1)\right) \]

以上就是加速度公式与位移差公式的完整推导过程。这些公式不仅帮助我们理解匀加速直线运动的本质，还为解决实际问题提供了有力工具。