在数学的学习过程中，解析几何是一门非常重要的学科，它将代数与几何完美地结合在一起，帮助我们通过代数的方法来研究几何问题。今天，我们就来一起探讨一些解析几何的典型习题，并给出详细的解答过程。

习题一：直线方程的求解

已知两点A(2,3)和B(4,7)，求过这两点的直线方程。

解答：

首先，我们可以利用两点式公式来求解直线方程。两点式公式为：

\[

(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)

\]

将点A(2,3)和点B(4,7)代入公式中，得到：

\[

(y - 3) = \frac{7 - 3}{4 - 2} (x - 2)

\]

简化后得：

\[

y - 3 = 2(x - 2)

\]

进一步整理得到直线方程为：

\[

y = 2x - 1

\]

习题二：圆的标准方程

已知一个圆的圆心为C(-1,2)，半径为5，求该圆的标准方程。

解答：

圆的标准方程为：

\[

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

\]

其中(h,k)是圆心坐标，r是半径。将给定的圆心坐标C(-1,2)和半径r=5代入公式中，得到：

\[

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5^2

\]

简化后得：

\[

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25

\]

这就是所求的圆的标准方程。

习题三：椭圆的基本性质

已知椭圆的标准方程为：

\[

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

\]

求椭圆的长轴长度、短轴长度以及离心率。

解答：

对于标准形式的椭圆方程：

\[

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

\]

其中a>b时，长轴沿x轴方向，短轴沿y轴方向。从给定的方程可以看出，a^2=9，b^2=4，所以a=3，b=2。

- 长轴长度为2a=6。

- 短轴长度为2b=4。

- 离心率e的计算公式为：

\[

e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

\]

代入a^2=9，b^2=4，得到：

\[

e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}

\]

以上就是关于解析几何的一些基础习题及其解答。通过这些练习，我们可以更好地理解和掌握解析几何的基本概念和应用方法。希望这些题目能够帮助你在学习解析几何的过程中取得更大的进步！