在数学与工程领域中，数值分析是一门研究如何用数值方法解决数学问题的学科。它广泛应用于科学计算、工程模拟、金融建模等多个领域。对于学习数值分析的学生来说，掌握常见的题型及其解法至关重要。本文将围绕“数值分析常考题型及答案”这一主题，系统梳理几类典型题型，并提供相应的解答思路，帮助读者更好地理解和应对考试。
一、插值与逼近
常见题型：
1. 拉格朗日插值法
给定若干个点的函数值，要求构造插值多项式并进行预测或误差分析。
2. 牛顿插值法
利用差商表构造插值多项式，适用于节点逐步增加的情况。
3. 样条插值（如三次样条）
要求构造分段光滑的插值函数，满足连续性与导数条件。
典型例题：
已知函数 $ f(x) $ 在 $ x_0 = 0, x_1 = 1, x_2 = 2 $ 处的值分别为 $ f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5 $，试用拉格朗日插值公式构造插值多项式，并计算 $ f(1.5) $ 的近似值。
答案解析：
拉格朗日插值多项式为：
$$
P(x) = \sum_{i=0}^{2} f(x_i) \cdot L_i(x)
$$
其中，
$$
L_0(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{(x-1)(x-2)}{2}
$$
$$
L_1(x) = \frac{(x-0)(x-2)}{(1-0)(1-2)} = \frac{x(x-2)}{-1}
$$
$$
L_2(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(2-0)(2-1)} = \frac{x(x-1)}{2}
$$
代入得：
$$
P(x) = 1 \cdot \frac{(x-1)(x-2)}{2} + 3 \cdot \left(-x(x-2)\right) + 5 \cdot \frac{x(x-1)}{2}
$$
化简后可得 $ P(x) $，再代入 $ x=1.5 $ 得到近似值。
二、数值积分与微分
常见题型：
1. 梯形法则与辛普森法则
用于近似计算定积分，要求掌握公式的应用及误差估计。
2. 高斯求积法
更高效、精度更高的积分方法，需了解权系数和节点选择。
3. 数值微分
利用差商近似导数，如前向差分、后向差分、中心差分等。
典型例题：
使用辛普森法则计算 $ \int_{0}^{2} e^{-x^2} dx $ 的近似值，取 $ n=4 $。
答案解析：
辛普森法则公式为：
$$
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)]
$$
其中 $ h = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{4} = 0.5 $
计算各点函数值，代入公式即可得到结果。
三、线性方程组的数值解法
常见题型：
1. 高斯消去法
解线性方程组的基本方法，需注意主元选取与回代过程。
2. LU分解
将矩阵分解为下三角矩阵与上三角矩阵之积，便于求解多个右端项。
3. 迭代法（雅可比、高斯-赛德尔）
适用于大型稀疏矩阵，需判断收敛性。
典型例题：
用雅可比迭代法解如下方程组：
$$
\begin{cases}
4x + y - z = 7 \\
x + 5y + z = 8 \\
x - y + 6z = 9
\end{cases}
$$
答案解析：
将方程组改写为迭代形式：
$$
x = \frac{7 - y + z}{4}, \quad y = \frac{8 - x - z}{5}, \quad z = \frac{9 - x + y}{6}
$$
取初始猜测 $ x^{(0)} = y^{(0)} = z^{(0)} = 0 $，依次迭代直至收敛。
四、非线性方程求根
常见题型：
1. 二分法
适用于连续函数在区间内有唯一根的情况。
2. 牛顿-拉夫森法
收敛速度快，但需要导数信息。
3. 割线法
不需要导数，用差商代替导数。
典型例题：
用牛顿法求解方程 $ x^3 - x - 2 = 0 $，初始值 $ x_0 = 1.5 $
答案解析：
牛顿迭代公式为：
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
其中 $ f(x) = x^3 - x - 2 $，$ f'(x) = 3x^2 - 1 $
代入 $ x_0 = 1.5 $，计算 $ x_1 $，继续迭代直到满足精度要求。
总结
数值分析作为一门应用性极强的学科，其核心在于理解算法原理、掌握计算技巧以及灵活运用各种方法解决问题。上述四类题型是考试中出现频率较高的内容，建议考生在复习时注重理解每种方法的适用范围与误差来源，并通过大量练习提高解题能力。
希望本文能为你的数值分析学习提供帮助！
