在高中阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维和分析能力有着重要的培养作用。高二年级是数学学习的关键时期，内容涉及函数、数列、立体几何、概率统计等多个模块，难度逐步加深。为了帮助学生更好地掌握知识，以下是一份高二数学试题及详细解析，供参考。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 已知函数 $ f(x) = x^2 - 3x + 2 $，则 $ f(2) $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
2. 若等差数列的首项为3，公差为-2，则第5项为（ ）
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
3. 在空间直角坐标系中，点 $ A(1, 2, 3) $ 到原点的距离为（ ）
A. $ \sqrt{14} $
B. $ \sqrt{13} $
C. $ \sqrt{12} $
D. $ \sqrt{11} $
4. 已知 $ \sin\theta = \frac{1}{2} $，且 $ \theta $ 在第二象限，则 $ \cos\theta $ 的值为（ ）
A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
B. $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. $ -\frac{1}{2} $
5. 设集合 $ A = \{x | x^2 - 4x + 3 < 0\} $，则集合A表示的是（ ）
A. $ (1, 3) $
B. $ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
C. $ [1, 3] $
D. $ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $
二、填空题（每题4分，共20分）
6. 函数 $ y = \log_2(x - 1) $ 的定义域为 ________。
7. 若 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (3, 4) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} = $ ________。
8. 数列 $ 1, 3, 5, 7, \ldots $ 的通项公式为 ________。
9. 若 $ \tan\theta = \frac{1}{2} $，则 $ \sin\theta = $ ________。
10. 从数字1、2、3、4中任取两个不同的数字组成两位数，共有 ________ 种可能。
三、解答题（共60分）
11. （本题10分）
解不等式：$ \frac{x - 1}{x + 2} \geq 0 $。
12. （本题12分）
已知等比数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_1 = 2 $，$ a_4 = 16 $，求该数列的通项公式及前5项的和。
13. （本题14分）
在空间直角坐标系中，已知点 $ A(1, 0, 2) $，点 $ B(3, 2, 4) $，点 $ C(0, 1, 1) $。
（1）求向量 $ \overrightarrow{AB} $ 和 $ \overrightarrow{AC} $；
（2）求向量 $ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} $ 的模长。
14. （本题12分）
某校高二年级有男生300人，女生200人。现从中随机抽取10人进行调查，问：
（1）抽到恰好3个男生的概率是多少？
（2）抽到至少1个男生的概率是多少？
15. （本题12分）
已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，
（1）求函数的极值点；
（2）求函数在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。
四、答案解析
一、选择题
1. A
2. A
3. A
4. B
5. A
二、填空题
6. $ (1, +\infty) $
7. 2
8. $ a_n = 2n - 1 $
9. $ \frac{\sqrt{5}}{5} $ 或 $ \frac{1}{\sqrt{5}} $
10. 12
三、解答题
11. 解集为 $ (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) $。
12. 通项公式 $ a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n $，前5项和为 $ S_5 = 62 $。
13. （1）$ \overrightarrow{AB} = (2, 2, 2) $，$ \overrightarrow{AC} = (-1, 1, -1) $；
（2）叉积模长为 $ \sqrt{12} $。
14. （1）约0.215；（2）约0.974。
15. （1）极小值点 $ x=1 $，极大值点 $ x=2 $；
（2）最大值为 $ f(0)=0 $，最小值为 $ f(2)=-2 $。
通过这份试题和答案，希望同学们能够巩固所学知识，提升解题能力。数学的学习需要不断练习与总结，祝愿大家在考试中取得优异成绩！
