【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是概率论中的一个重要概念，常用于描述随机变量的平均值。理解并掌握期望公式的应用，有助于解决实际问题，如赌博、保险、投资等场景。本文将对高中阶段涉及的期望公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、期望的基本定义
期望（Expected Value）是指在大量重复试验中，随机变量的平均结果。对于一个离散型随机变量 $ X $，其取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望 $ E(X) $ 的计算公式为：
$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
二、常见类型及公式总结
以下是高中数学中常见的几种期望类型及其公式：
| 类型 | 随机变量 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ X $ | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $ | 每个可能取值乘以对应概率之和 |
| 二项分布 | $ X \sim B(n, p) $ | $ E(X) = np $ | n次独立试验中成功的次数期望 |
| 超几何分布 | $ X \sim H(N, K, n) $ | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 从有限总体中不放回抽样时的成功期望 |
| 均匀分布（离散） | $ X $ 取值为 $ a, a+1, \ldots, b $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ | 等概率分布下的中间值 |
| 几何分布 | $ X \sim G(p) $ | $ E(X) = \frac{1}{p} $ | 第一次成功所需的试验次数期望 |
三、典型例题解析
例题1：
一个袋中有5个红球和3个蓝球，从中随机抽取一个球，设 $ X $ 表示抽到红球的次数（0或1），求 $ E(X) $。
解：
- $ P(X=1) = \frac{5}{8} $
- $ P(X=0) = \frac{3}{8} $
$$
E(X) = 1 \times \frac{5}{8} + 0 \times \frac{3}{8} = \frac{5}{8}
$$
例题2：
一枚硬币被抛掷3次，设 $ X $ 为正面出现的次数，求 $ E(X) $。
解：
$ X \sim B(3, 0.5) $，因此：
$$
E(X) = 3 \times 0.5 = 1.5
$$
四、注意事项
1. 期望反映的是长期平均趋势，不是每次实验的具体结果。
2. 期望可以是小数或分数，不一定出现在实际样本中。
3. 在应用期望时，需确保各事件的概率和为1，否则无法正确计算。
五、总结
高中数学中的期望公式是概率学习的重要组成部分，掌握不同分布下的期望计算方法，有助于提升解决实际问题的能力。通过表格形式可以更直观地比较各种类型的期望公式，便于记忆与应用。
关键词： 高中数学、期望公式、概率、离散型随机变量、二项分布、几何分布
