【高中数学期望常用公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，常用于随机变量的平均值计算。掌握期望的常用公式对于解决实际问题和考试中的概率题非常有帮助。本文将对高中阶段常用的期望公式进行总结，并以表格形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本概念
期望（Expected Value）：在概率论中，期望是随机变量在大量重复试验中取值的平均结果。它是对随机事件长期趋势的一种描述。
二、常见分布的期望公式
以下是一些在高中数学中常见的概率分布及其对应的期望公式：
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF） | 期望公式 | 说明 |
| 两点分布（0-1分布） | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $，$ k=0,1 $ | $ E(X) = p $ | 其中 $ p $ 为成功概率 |
| 二项分布 $ B(n,p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ E(X) = np $ | 表示 n 次独立试验中成功的次数 |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 从有限总体中不放回抽样 |
| 离散型均匀分布 | $ P(X = k) = \frac{1}{n} $，$ k = 1,2,...,n $ | $ E(X) = \frac{n+1}{2} $ | 所有可能结果的概率相等 |
| 期望线性性质 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | —— | 线性组合的期望等于期望的线性组合 |
三、期望的性质
1. 线性性：
对于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，以及常数 $ a $、$ b $，有：
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
2. 常数的期望：
若 $ c $ 是常数，则：
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的期望：
若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则：
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
四、应用举例
例1：抛一枚硬币，正面出现的概率为 0.6，反面为 0.4。设 $ X $ 表示正面出现的次数（一次试验），则：
$$
E(X) = 0.6
$$
例2：一个班级有 50 名学生，其中 20 名是女生。从中随机抽取 5 名学生，设 $ X $ 表示女生人数，那么：
$$
E(X) = \frac{5 \times 20}{50} = 2
$$
五、小结
期望是高中数学中概率部分的重要内容，尤其在处理离散型随机变量时，掌握其公式和性质有助于快速解题。通过上述表格和实例，可以更清晰地理解不同分布下的期望计算方法，并灵活应用于实际问题中。
如需进一步了解方差、协方差或条件期望等内容，可继续关注后续相关文章。
