在概率论与数理统计中，数学期望是一个重要的概念，它用于描述随机变量的平均值或中心位置。简单来说，数学期望可以帮助我们预测一个随机事件的长期平均结果。
对于离散型随机变量 \(X\)，其数学期望 \(E(X)\) 的公式为：
\[
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
\]
其中，\(x_i\) 是随机变量 \(X\) 的可能取值，\(p_i\) 是对应的概率，而 \(n\) 表示可能取值的总数。
而对于连续型随机变量 \(X\)，其数学期望 \(E(X)\) 的公式则为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
\]
这里，\(f(x)\) 是随机变量 \(X\) 的概率密度函数。
数学期望不仅在理论研究中有重要地位，而且在实际应用中也极为广泛。例如，在金融领域，它可以用来评估投资的风险和收益；在工程学中，它可以帮助优化系统设计。理解数学期望的公式及其背后的原理，有助于我们在面对不确定性时做出更明智的决策。
总之，数学期望的公式为我们提供了一种量化随机现象的方法，是理解和分析随机过程的关键工具之一。
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