在概率论与数理统计中，均匀分布是一种非常常见的连续型随机变量分布形式。均匀分布的特点是其概率密度函数在整个定义区间内保持恒定，而在区间外则为零。这种特性使得均匀分布在理论分析和实际应用中都具有重要意义。
假设我们已知一个随机变量 \( X \) 服从均匀分布 \( U(a, b) \)，其概率密度函数（PDF）可以表示为：
\[
f_X(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}
\]
其中，\( a \) 和 \( b \) 分别为分布的下界和上界，且满足 \( a < b \)。
接下来，我们需要通过概率密度函数 \( f_X(x) \) 求出对应的累积分布函数（CDF），记作 \( F_X(x) \)。根据定义，累积分布函数 \( F_X(x) \) 表示随机变量 \( X \) 的取值小于或等于 \( x \) 的概率，即：
\[
F_X(x) = P(X \leq x)
\]
利用积分关系，累积分布函数可以通过概率密度函数进行计算：
\[
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt
\]
我们将分三种情况进行讨论：
情况一：当 \( x < a \)
在区间 \( (-\infty, a) \) 上，概率密度函数 \( f_X(x) = 0 \)。因此：
\[
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0
\]
情况二：当 \( a \leq x \leq b \)
在区间 \( [a, b] \) 上，概率密度函数 \( f_X(x) = \frac{1}{b-a} \)。因此：
\[
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt = \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} \, dt
\]
积分结果为：
\[
F_X(x) = \frac{x - a}{b - a}
\]
情况三：当 \( x > b \)
在区间 \( (b, +\infty) \) 上，概率密度函数 \( f_X(x) = 0 \)。因此：
\[
F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt = \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, dt = 1
\]
综合以上三种情况，均匀分布的累积分布函数 \( F_X(x) \) 可以表示为：
\[
F_X(x) =
\begin{cases}
0, & x < a \\
\frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b \\
1, & x > b
\end{cases}
\]
结论
通过上述推导，我们可以看到，均匀分布的累积分布函数 \( F_X(x) \) 是一个分段函数，其表达式简洁直观。这种性质不仅便于理论研究，也方便在实际问题中的应用。
总结来说，已知均匀分布的概率密度函数 \( f_X(x) \)，我们只需对其积分即可得到累积分布函数 \( F_X(x) \)。这种方法适用于所有连续型随机变量的分布函数求解过程，是概率论学习的重要基础。
