在数学领域中，线性代数是一个非常重要的分支，而特征值与特征向量则是其中的核心概念之一。当我们知道一个矩阵以及其对应的特征值时，往往需要进一步求解出相应的特征向量。这不仅对于理论研究具有重要意义，同时也广泛应用于工程实践和数据分析等领域。
一、基本定义回顾
首先，让我们回顾一下相关的基本概念：
- 特征值（Eigenvalue）：设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的方阵，若存在标量 \( \lambda \) 和非零向量 \( v \)，使得 \( Av = \lambda v \)，则称 \( \lambda \) 为矩阵 \( A \) 的特征值，\( v \) 为对应的特征向量。
- 特征向量（Eigenvector）：满足上述条件的非零向量 \( v \) 称为矩阵 \( A \) 关于特征值 \( \lambda \) 的特征向量。
二、求解步骤详解
当已知矩阵 \( A \) 及其特征值 \( \lambda \) 时，求解特征向量的过程可以分为以下几个步骤：
1. 构建方程组：
根据特征值的定义 \( Av = \lambda v \)，可以改写为：
\[
(A - \lambda I)v = 0
\]
其中 \( I \) 表示单位矩阵。这个等式表明，我们需要找到所有满足该齐次线性方程组的非零解。
2. 化简矩阵：
将 \( A - \lambda I \) 进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵。这样做的目的是为了更方便地分析方程组的解空间结构。
3. 求解自由变量：
在将矩阵化为行最简形后，观察主元列与自由列的位置关系。自由变量的数量等于自由列的数量，这些自由变量将决定特征向量的具体形式。
4. 构造特征向量：
对于每一个自由变量，分别令其取值为 1，其余自由变量取值为 0，从而得到一组线性无关的特征向量。这些向量构成了特征值对应特征空间的一组基底。
三、实例演示
假设我们有一个 \( 2 \times 2 \) 矩阵：
\[
A =
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{bmatrix}
\]
并且已知其特征值为 \( \lambda_1 = 5 \) 和 \( \lambda_2 = 2 \)。现在我们来求解这两个特征值所对应的特征向量。
1. 对于 \( \lambda_1 = 5 \)，我们计算 \( A - 5I \)：
\[
A - 5I =
\begin{bmatrix}
-1 & 2 \\
1 & -2
\end{bmatrix}
\]
2. 化简此矩阵至行最简形：
\[
\sim
\begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]
3. 从行最简形可以看出，第一列为非零列，第二列为自由列。因此，自由变量为 \( x_2 \)。
4. 设 \( x_2 = 1 \)，则 \( x_1 = 2 \)，得到特征向量：
\[
v_1 =
\begin{bmatrix}
2 \\
1
\end{bmatrix}
\]
类似地，对于 \( \lambda_2 = 2 \)，经过同样的过程可得另一特征向量。
四、总结
通过以上方法，我们可以系统地解决已知矩阵及其特征值的情况下求解特征向量的问题。这种方法不仅适用于理论推导，也能很好地应用于实际问题中。希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
