在数学分析中，定积分是一个非常重要的概念，它用于描述函数曲线下的面积。为了更好地理解定积分的应用和计算方法，我们可以通过一些具体的例子来学习。

首先，让我们来看一个简单的例子。假设我们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分。根据定积分的基本定义，我们需要找到这个函数在这个区间的原函数 F(x)，然后应用牛顿-莱布尼兹公式：

\[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

对于 f(x) = x^2，我们知道其原函数是 F(x) = (1/3)x^3。因此，当我们将这个原函数应用于区间 [0, 1] 时，得到的结果为：

\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} \]

接下来，我们考虑一个稍微复杂一点的例子。假设我们需要计算函数 g(x) = sin(x) 在区间 [0, π] 上的定积分。同样地，我们寻找 g(x) 的原函数 G(x)，即满足 G'(x) = g(x) 的函数。已知 sin(x) 的原函数是 -cos(x)，所以我们有：

\[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = \left[ -\cos(x) \right]_0^\pi = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 \]

这两个例子展示了如何利用基本的积分规则来解决常见的定积分问题。当然，在实际应用中，可能还会遇到更多复杂的函数形式以及更广泛的积分范围。掌握这些基础技巧后，就可以逐步扩展到处理更加多样化的数学模型了。