在数学分析中，定积分是一个非常重要的工具，它不仅能够帮助我们解决几何问题，还能应用于物理、工程等多个领域。为了更好地理解和运用定积分，以下是对一些常见应用公式的系统总结。
一、面积计算
利用定积分可以方便地求解平面图形的面积。假设曲线由函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上定义，则该曲线与 $x$-轴围成的区域面积为：
$$
A = \int_a^b |f(x)| \, dx
$$
如果涉及两条曲线 $y_1=f_1(x)$ 和 $y_2=f_2(x)$，则两曲线之间的面积为：
$$
A = \int_a^b |f_2(x) - f_1(x)| \, dx
$$
二、体积计算
通过旋转或平移的方式，可以用定积分求解立体图形的体积。例如，绕 $x$-轴旋转时，体积公式为：
$$
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx
$$
而绕 $y$-轴旋转时，需将函数表达式改为关于 $y$ 的形式，并调整积分变量。
三、弧长计算
若已知曲线 $y=f(x)$ 的导数存在且连续，则曲线的弧长 $L$ 可表示为：
$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2} \, dx
$$
类似地，对于参数方程表示的曲线 $(x(t), y(t))$，其弧长为：
$$
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt
$$
四、质心与重心
对于由密度分布均匀的物体构成的平面区域，其质心坐标可以通过定积分求得。设区域面积为 $A$，质心横坐标为 $\bar{x}$，纵坐标为 $\bar{y}$，则有：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \int_a^b x |f(x)| \, dx, \quad \bar{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \frac{1}{2}[f(x)]^2 \, dx
$$
当密度非均匀分布时，还需引入密度函数 $\rho(x, y)$ 进行修正。
五、功与能量
在物理学中，定积分常用于计算变力作用下的功。若力 $F(x)$ 沿直线从点 $a$ 到点 $b$ 做功，则总功为：
$$
W = \int_a^b F(x) \, dx
$$
此外，在流体力学中，计算液体压力或浮力时也经常用到类似的积分方法。
六、概率论中的应用
在概率论中，累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）的关系同样依赖于定积分。例如，随机变量 $X$ 的期望值为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x) \, dx
$$
其中 $f_X(x)$ 是 $X$ 的 PDF。
以上是定积分在实际问题中的主要应用场景及其相关公式。掌握这些内容有助于更高效地解决复杂的数学和科学问题。希望本文能为你提供一定的参考价值！
