【常用积分表(精心整理)(18页)】在数学学习与研究中，积分是一个非常重要的概念，广泛应用于微积分、物理、工程、经济等多个领域。对于学生和研究人员来说，掌握一些常见的积分公式不仅能提高解题效率，还能加深对积分方法的理解。因此，整理一份常用积分表显得尤为重要。

本积分表涵盖了基本初等函数的积分公式、三角函数积分、指数函数积分、对数函数积分以及部分特殊函数的积分形式，内容全面、结构清晰，便于查阅与记忆。以下是部分常见积分公式的整理与说明：

一、基本积分公式

1. $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）

2. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$

3. $\int e^x \, dx = e^x + C$

4. $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （$a > 0, a \neq 1$）

5. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

6. $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

7. $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$

8. $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$

9. $\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

10. $\int \csc x \, dx = -\ln |\csc x + \cot x| + C$

二、三角函数积分

1. $\int \sin(ax) \, dx = -\frac{\cos(ax)}{a} + C$

2. $\int \cos(ax) \, dx = \frac{\sin(ax)}{a} + C$

3. $\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

4. $\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$

5. $\int \tan^2 x \, dx = \tan x - x + C$

6. $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

7. $\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

三、指数与对数函数积分

1. $\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$

2. $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$

3. $\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \sin(bx) - b \cos(bx)) + C$

4. $\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C$

四、有理函数积分

1. $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$

2. $\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$

3. $\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C$

五、其他常见积分

1. $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$

2. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln \left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C$

3. $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln \left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C$

4. $\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left(\frac{|x|}{a}\right) + C$

六、总结

这份常用积分表是针对初学者和进阶学习者而整理的，内容覆盖了大部分基础和常见积分公式，适用于考试复习、作业解答及科研参考。虽然它不能涵盖所有可能的积分情况，但作为工具书，能够帮助用户快速找到解题思路，节省大量时间。

在使用过程中，建议结合具体的题目进行练习，并逐步掌握积分技巧与变换方法，以达到灵活运用的目的。