在数学学习中，因式分解是一项重要的技能，它不仅能够帮助我们简化复杂的代数表达式，还能为解决方程和不等式提供便利。为了更好地掌握这一技巧，以下是一些经典的因式分解练习题及其详细解答，供同学们参考和练习。
练习题1：提取公因式法
题目：分解因式 $ 6x^2 + 9x $
解答：
观察到两项都有公因式 $ 3x $，因此可以提取公因式：
$$
6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)
$$
最终结果为：
$$
\boxed{3x(2x + 3)}
$$
练习题2：公式法（平方差公式）
题目：分解因式 $ x^2 - 16 $
解答：
利用平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $，可得：
$$
x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x - 4)(x + 4)
$$
最终结果为：
$$
\boxed{(x - 4)(x + 4)}
$$
练习题3：公式法（完全平方公式）
题目：分解因式 $ x^2 + 10x + 25 $
解答：
观察到该式符合完全平方公式 $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $，其中 $ a = x $, $ b = 5 $。因此：
$$
x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2
$$
最终结果为：
$$
\boxed{(x + 5)^2}
$$
练习题4：分组分解法
题目：分解因式 $ x^2y + xy^2 + x + y $
解答：
将前两项与后两项分组，提取公因式：
$$
x^2y + xy^2 + x + y = (x^2y + xy^2) + (x + y)
$$
$$
= xy(x + y) + 1(x + y)
$$
进一步提取公因式 $ (x + y) $：
$$
xy(x + y) + 1(x + y) = (x + y)(xy + 1)
$$
最终结果为：
$$
\boxed{(x + y)(xy + 1)}
$$
练习题5：十字相乘法
题目：分解因式 $ x^2 + 7x + 12 $
解答：
寻找两个数，使其积为常数项 $ 12 $，和为中间项系数 $ 7 $。这两个数是 $ 3 $ 和 $ 4 $。因此：
$$
x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
$$
最终结果为：
$$
\boxed{(x + 3)(x + 4)}
$$
通过以上练习题的解析，我们可以看到因式分解的方法多种多样，需要根据具体题目灵活选择合适的解题策略。希望这些题目能帮助大家巩固因式分解的基础知识，并提高解题能力！
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