在高三阶段，数学作为一门核心学科，其内容涵盖了高中阶段的全部数学知识，尤其是函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等重点模块。为了帮助同学们更好地复习和掌握关键知识点，以下整理了一些高三数学中常用的重要公式与知识点，便于大家在备考过程中快速回顾和应用。
一、集合与简易逻辑
1. 集合的基本运算：
- 并集：$ A \cup B = \{x | x \in A \text{ 或 } x \in B\} $
- 交集：$ A \cap B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \in B\} $
- 补集：$ \complement_U A = \{x | x \in U \text{ 且 } x \notin A\} $
2. 命题与逻辑关系：
- 原命题：若 $ p $ 则 $ q $
- 逆命题：若 $ q $ 则 $ p $
- 否命题：若非 $ p $ 则非 $ q $
- 逆否命题：若非 $ q $ 则非 $ p $
二、函数与导数
1. 常见函数类型：
- 一次函数：$ y = kx + b $
- 二次函数：$ y = ax^2 + bx + c $，顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $
- 指数函数：$ y = a^x $（$ a > 0, a \ne 1 $）
- 对数函数：$ y = \log_a x $（$ a > 0, a \ne 1 $）
2. 导数公式：
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
3. 导数的应用：
- 极值判定：若 $ f'(x_0) = 0 $ 且左右导数变号，则 $ x_0 $ 是极值点。
- 单调性判断：若 $ f'(x) > 0 $，则函数在该区间单调递增；反之则递减。
三、数列与不等式
1. 等差数列：
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列：
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 前 $ n $ 项和：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \ne 1 $）
3. 不等式性质：
- 若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $
- 若 $ a > b $ 且 $ c > 0 $，则 $ ac > bc $
- 若 $ a > b $ 且 $ c < 0 $，则 $ ac < bc $
四、三角函数
1. 基本公式：
- 正弦定理：$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
- 余弦定理：$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $
- 诱导公式（如 $ \sin(\pi - x) = \sin x $，$ \cos(\pi - x) = -\cos x $ 等）
2. 三角恒等式：
- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $
- $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
- $ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
- $ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $
五、立体几何
1. 空间几何体体积公式：
- 长方体：$ V = abc $
- 正方体：$ V = a^3 $
- 圆柱体：$ V = \pi r^2 h $
- 圆锥体：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
- 球体：$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $
2. 空间向量与距离公式：
- 向量夹角公式：$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $
- 点到平面的距离公式：$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $
六、解析几何
1. 直线方程：
- 斜截式：$ y = kx + b $
- 点斜式：$ y - y_0 = k(x - x_0) $
- 一般式：$ Ax + By + C = 0 $
2. 圆的方程：
- 标准式：$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $
- 一般式：$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $
3. 椭圆、双曲线、抛物线：
- 椭圆：$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
- 双曲线：$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
- 抛物线：$ y^2 = 4px $ 或 $ x^2 = 4py $
七、概率与统计
1. 排列组合公式：
- 排列数：$ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} $
- 组合数：$ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!} $
2. 概率公式：
- 独立事件：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $
- 互斥事件：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $
- 条件概率：$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $
3. 期望与方差：
- 期望：$ E(X) = \sum x_i P(x_i) $
- 方差：$ D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $
结语
高三数学内容繁多，但掌握好这些常用公式与知识点，将大大提升解题效率和准确率。建议同学们在复习过程中注重理解公式的推导过程，并结合典型例题进行练习，做到举一反三、融会贯通。希望以上内容能对大家的复习有所帮助，祝大家在高考中取得优异成绩！
