在学习线性代数的过程中，第四、第五和第六章通常涵盖了向量空间、线性变换以及特征值与特征向量等核心内容。为了帮助同学们更好地掌握这些知识点，下面提供一份针对这三章的自测题，旨在检验对基本概念的理解和应用能力。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列哪个集合是实数域上的一个向量空间？
A. 所有形如 $ (x, y) $ 满足 $ x + y = 1 $ 的点
B. 所有 $ 2 \times 2 $ 实矩阵
C. 所有次数不超过3的多项式
D. 所有满足 $ f(0) = 1 $ 的连续函数
2. 设 $ V $ 是一个向量空间，$ S = \{v_1, v_2, v_3\} $ 是其子集，若 $ v_3 $ 可由 $ v_1 $ 和 $ v_2 $ 线性表示，则：
A. $ S $ 线性无关
B. $ S $ 线性相关
C. $ V $ 的维数至少为3
D. 无法判断
3. 若矩阵 $ A $ 的秩为 $ r $，则其对应的齐次方程组 $ Ax = 0 $ 的解空间的维数为：
A. $ n - r $
B. $ r $
C. $ m - r $
D. $ n $
4. 设 $ T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ 是一个线性变换，其标准矩阵为 $ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，则该变换的核（kernel）的维度是：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不确定
5. 若矩阵 $ A $ 有特征值 $ \lambda $，则下列哪一项一定成立？
A. $ A - \lambda I $ 是可逆矩阵
B. $ \det(A - \lambda I) \neq 0 $
C. $ \lambda $ 是 $ A $ 的特征值
D. $ A $ 一定是对角化的
二、填空题（每空3分，共15分）
1. 向量空间 $ \mathbb{R}^3 $ 的一组基可以是 ______。
2. 若矩阵 $ A $ 的特征多项式为 $ (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) $，则其所有特征值为 ______。
3. 设 $ T $ 是从 $ \mathbb{R}^3 $ 到 $ \mathbb{R}^2 $ 的线性变换，若 $ T $ 的秩为2，则其零空间的维数为 ______。
4. 若 $ A $ 是一个正交矩阵，则 $ A^{-1} = $ ______。
5. 若 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，则 $ \lambda^2 $ 是矩阵 ______ 的特征值。
三、解答题（共65分）
1. （10分）设 $ V $ 是所有实系数二次多项式的集合，定义线性变换 $ T: V \to V $ 为 $ T(f(x)) = f'(x) + f(x) $。求 $ T $ 的矩阵表示，并求其核与像空间的维数。
2. （15分）设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，求其特征值和对应的特征向量，并判断 $ A $ 是否可对角化。
3. （20分）证明：若 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，则 $ \lambda^n $ 是 $ A^n $ 的特征值；反之，若 $ \mu $ 是 $ A^n $ 的特征值，则存在某个 $ \lambda $ 使得 $ \mu = \lambda^n $。
4. （20分）设 $ V $ 是一个有限维向量空间，$ W $ 是其子空间，且 $ \dim(V) = n $，$ \dim(W) = k $。证明：存在一个子空间 $ U $ 使得 $ V = W \oplus U $，并说明 $ \dim(U) = n - k $。
四、附加题（10分）
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，且满足 $ A^2 = A $，试证明：
1. $ A $ 是幂等矩阵；
2. 若 $ A \neq I $，则 $ A $ 不可逆；
3. $ \text{rank}(A) + \text{rank}(I - A) = n $。
提示与参考答案（仅供练习使用）
- 选择题答案：B、B、A、A、C
- 填空题答案：例如 $ \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\} $；1, 1, -2；1；$ A^T $；$ A^2 $
通过完成这份自测题，不仅可以巩固线性代数中第四至第六章的知识点，还能提升逻辑推理与数学表达能力。建议在考试前反复练习，并结合教材和笔记进行复习。
