【三角函数和差公式推导】在三角函数的学习中，和差公式是基础而重要的内容。它们用于将两个角的和或差的三角函数表达为单个角的三角函数形式，广泛应用于数学、物理及工程等领域。以下是对常见三角函数和差公式的推导过程进行总结，并通过表格形式展示其基本内容。
一、正弦函数的和差公式
1. 正弦和角公式
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
2. 正弦差角公式
$$
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
推导思路：利用单位圆上的点坐标定义，结合向量旋转与角度加法原理，通过余弦定理或欧拉公式（复数形式）进行推导。
二、余弦函数的和差公式
1. 余弦和角公式
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
2. 余弦差角公式
$$
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$$
推导思路：同样基于单位圆中的点坐标关系，结合余弦的几何意义，通过向量内积或三角恒等式进行推导。
三、正切函数的和差公式
1. 正切和角公式
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}
$$
2. 正切差角公式
$$
\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
$$
推导思路：由正弦与余弦的和差公式出发，利用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 进行代入化简得到。
四、总结表格
| 公式类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦 | 和角公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 正弦 | 差角公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ |
| 余弦 | 和角公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ |
| 余弦 | 差角公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ |
| 正切 | 和角公式 | $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ |
| 正切 | 差角公式 | $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ |
五、小结
三角函数的和差公式是解决角度组合问题的重要工具。通过掌握这些公式及其推导方法，可以更灵活地处理涉及多个角度的三角函数计算问题。建议在学习过程中多做练习，加深对公式结构的理解与应用能力。
