在高等数学中，凑微分法是一种非常实用的技巧，尤其在不定积分的计算过程中，它能够帮助我们简化复杂的积分表达式。那么，什么是凑微分法？又该如何正确地“凑”呢？

首先，我们需要理解凑微分法的基本原理。简单来说，凑微分法是利用变量替换的方法，将原积分中的函数形式调整为一个易于处理的形式。具体而言，当我们面对一个积分表达式时，如果发现被积函数的一部分可以看作是另一个函数的导数，那么就可以尝试通过变量替换来简化问题。

接下来，让我们来看几个具体的例子，以更好地掌握这种方法的应用。

例1：基本形式的凑微分

假设我们要计算积分 ∫x e^(x^2) dx。观察到 e^(x^2) 的导数是 2x e^(x^2)，而原积分中正好有一个 x 因子。因此，我们可以将 x 写成 (1/2) d(x^2)/dx，从而得到：

∫x e^(x^2) dx = (1/2) ∫e^(x^2) d(x^2)

现在这个积分就变得非常简单了，结果为：

(1/2) e^(x^2) + C

例2：稍微复杂一点的情况

再来看一个稍微复杂一些的例子：∫sin(2x) cos(x) dx。这里有两个三角函数相乘，看起来比较棘手。但是注意到 sin(2x) 可以写成 2sin(x)cos(x)，于是整个积分变为：

∫2sin(x)cos^2(x) dx

这时，我们设 u = cos(x)，则 du = -sin(x) dx。代入后得到：

-2 ∫u^2 du

这是一个标准的幂函数积分，结果为：

-(2/3)u^3 + C = -(2/3)cos^3(x) + C

总结

通过上述两个例子可以看出，凑微分法的关键在于敏锐地捕捉到被积函数中可能存在的导数关系，并灵活地进行变量替换。当然，在实际应用中，还需要结合具体的题目特点和经验积累，才能更加得心应手地运用这一方法。

最后，提醒大家注意的是，练习是提高解题能力的最佳途径。多做一些相关的习题，不断总结经验和规律，相信你很快就能熟练掌握凑微分法的精髓！