【除法求导法则公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当函数以两个函数相除的形式出现时，就需要使用“除法求导法则”来计算其导数。该法则也被称为“商法则”，是基本求导法则之一。
一、除法求导法则公式总结
设函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减去分母导乘分子，再除以分母的平方。
二、公式解析
| 项 | 含义 | 说明 |
| $ u(x) $ | 分子函数 | 被除的函数 |
| $ v(x) $ | 分母函数 | 除以的函数 |
| $ u'(x) $ | 分子函数的导数 | 对分子求导 |
| $ v'(x) $ | 分母函数的导数 | 对分母求导 |
| $ [v(x)]^2 $ | 分母的平方 | 作为分母的分母部分 |
三、使用步骤
1. 确定被除函数的分子和分母；
2. 分别对分子和分母求导；
3. 代入公式进行计算；
4. 化简结果（如需要）。
四、示例
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，求 $ f'(x) $。
- 分子 $ u(x) = x^2 + 1 $，导数 $ u'(x) = 2x $
- 分母 $ v(x) = x - 3 $，导数 $ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}
$$
进一步化简：
$$
f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2}
= \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
五、注意事项
- 分母不能为零，因此在定义域内要确保 $ v(x) \neq 0 $；
- 在应用公式前，应先确认分子和分母是否可导；
- 若函数形式复杂，可先进行简化后再求导。
六、表格总结
| 项目 | 内容 |
| 法则名称 | 除法求导法则 / 商法则 |
| 公式 | $ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $ |
| 使用条件 | $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 可导，$ v(x) \neq 0 $ |
| 常见错误 | 忽略分母平方或混淆分子与分母的导数顺序 |
| 应用场景 | 复合函数中的除法形式求导 |
通过掌握除法求导法则，可以更高效地处理涉及分数形式的函数求导问题，是学习微积分过程中不可或缺的基础知识之一。
