【除法求导法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。对于两个可导函数的商（即除法形式），我们可以通过“除法求导法则”来求其导数。该法则与乘法求导法则相对应，是求导过程中常用的基本规则之一。
一、除法求导法则总结
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 均为可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则 $ f(x) $ 的导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简记为：分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母的平方。
二、除法求导法则详解
- 分子部分：$ u(x) $ 的导数 $ u'(x) $ 乘以分母 $ v(x) $
- 分母部分：$ u(x) $ 乘以分母的导数 $ v'(x) $
- 整体结构：分子部分减去分母部分，结果再除以分母的平方
该法则适用于所有形式的除法函数，尤其在处理三角函数、多项式函数和指数函数等组合时非常实用。
三、除法求导法则示例
| 函数 | 导数 | 使用法则 |
| $ \frac{x^2}{\sin x} $ | $ \frac{2x \cdot \sin x - x^2 \cdot \cos x}{\sin^2 x} $ | 除法求导法则 |
| $ \frac{e^x}{x+1} $ | $ \frac{e^x(x+1) - e^x(1)}{(x+1)^2} = \frac{e^x x}{(x+1)^2} $ | 除法求导法则 |
| $ \frac{\ln x}{x^3} $ | $ \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - \ln x \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6} $ | 除法求导法则 |
四、注意事项
- 分母不能为零：在应用除法求导法则前，必须确保 $ v(x) \neq 0 $，否则导数无意义。
- 先化简再求导：如果函数可以简化，例如约分或合并项，建议先化简再使用法则，避免复杂计算。
- 结合其他法则：在实际问题中，常需结合链式法则、乘法法则等进行复合求导。
五、总结
除法求导法则是微积分中用于求解两个可导函数相除后的导数的重要方法。掌握这一法则不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。通过不断练习和应用，可以更加熟练地应对各种复杂的求导问题。
