【重积分:由曲面z 根号下(x2+y2)及z x2+y2所围成的立体体积】在多变量微积分中，求由两个曲面所围成的立体体积是一个常见的问题。本文将通过重积分的方法，计算由以下两个曲面所围成的立体体积：
- 曲面1：$ z = \sqrt{x^2 + y^2} $（即一个圆锥面）
- 曲面2：$ z = x^2 + y^2 $（即一个抛物面）
一、问题分析
首先，我们需要确定这两个曲面的交线，从而找到积分区域。
设 $ \sqrt{x^2 + y^2} = x^2 + y^2 $，令 $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $，则有：
$$
r = r^2 \Rightarrow r(r - 1) = 0
$$
解得 $ r = 0 $ 或 $ r = 1 $，即两曲面在 $ r = 1 $ 处相交，因此交线为半径为 1 的圆。
所以，我们只需要在极坐标下对 $ r \in [0, 1] $ 进行积分即可。
二、积分设置
由于两个曲面都是关于 $ x $ 和 $ y $ 对称的函数，使用极坐标更为方便。
在极坐标系中：
- $ x^2 + y^2 = r^2 $
- $ \sqrt{x^2 + y^2} = r $
因此，体积可以表示为两个曲面之间的“高度差”在极坐标下的积分：
$$
V = \iint_{D} \left[ \sqrt{x^2 + y^2} - (x^2 + y^2) \right] \, dA
$$
转换为极坐标：
$$
V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( r - r^2 \right) r \, dr \, d\theta
$$
即：
$$
V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2 - r^3) \, dr \, d\theta
$$
三、积分计算
先计算内层积分：
$$
\int_0^1 (r^2 - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}
$$
再计算外层积分：
$$
V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{12} \, d\theta = \frac{1}{12} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}
$$
四、总结与表格展示
| 项目 | 内容 |
| 题目 | 重积分：由曲面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 及 $ z = x^2 + y^2 $ 所围成的立体体积 |
| 积分区域 | 极坐标下 $ r \in [0, 1] $，$ \theta \in [0, 2\pi] $ |
| 被积函数 | $ r^2 - r^3 $ |
| 积分结果 | $ V = \frac{\pi}{6} $ |
五、结论
通过重积分方法，我们计算了由圆锥面 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 与抛物面 $ z = x^2 + y^2 $ 所围成的立体体积，最终结果为 $ \frac{\pi}{6} $。整个过程利用了极坐标变换，简化了积分运算，并确保了计算的准确性。
