【欧拉方程求解微分方程】在微分方程的求解过程中，欧拉方程（Euler Equation）是一种特殊的二阶常微分方程，形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + a y = 0
$$
其中 $a$ 是常数。这类方程在物理、工程和数学中有着广泛的应用，尤其是在处理具有对称性或幂函数解的问题时。
欧拉方程的基本解法步骤总结：
1. 确定方程类型：判断给定的微分方程是否为欧拉方程。
2. 假设解的形式：设解为 $y = x^r$，其中 $r$ 是待定常数。
3. 代入并化简：将 $y = x^r$ 代入原方程，得到关于 $r$ 的特征方程。
4. 求解特征方程：根据特征方程的根的情况，写出通解。
5. 整理通解表达式：根据不同的根情况（实根、复根、重根），给出相应的通解形式。
欧拉方程的通解形式总结表：
| 特征方程的根 | 通解形式 |
| 两个不同的实根 $r_1, r_2$ | $y = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2}$ |
| 一个重实根 $r$ | $y = (C_1 + C_2 \ln x) x^r$ |
| 一对共轭复根 $α ± βi$ | $y = x^α [C_1 \cos(β \ln x) + C_2 \sin(β \ln x)]$ |
实例分析：
考虑方程：
$$
x^2 y'' + 3x y' + y = 0
$$
步骤如下：
1. 假设解为 $y = x^r$
2. 计算导数：
- $y' = r x^{r-1}$
- $y'' = r(r-1) x^{r-2}$
3. 代入方程得：
$$
x^2 [r(r-1)x^{r-2}] + 3x [r x^{r-1}] + x^r = 0
$$
化简后：
$$
x^r [r(r-1) + 3r + 1] = 0
$$
得到特征方程：
$$
r(r-1) + 3r + 1 = 0 \Rightarrow r^2 + 2r + 1 = 0
$$
4. 解得 $r = -1$（重根）
5. 因此通解为：
$$
y = (C_1 + C_2 \ln x) x^{-1}
$$
总结：
欧拉方程是处理形如 $x^2 y'' + x y' + a y = 0$ 的微分方程的一种有效方法。通过假设解的形式为幂函数，并将其代入原方程，可以得到一个关于 $r$ 的二次方程。根据特征方程的根的不同情况，可以分别写出对应的通解形式。掌握这一方法有助于更高效地解决相关类型的微分方程问题。
