tanx的导数等于什么

在数学分析中，三角函数的导数是一个非常基础且重要的知识点。其中，正切函数（tangent function），通常记作 tan(x)，是其中一个典型的例子。那么，tan(x) 的导数究竟是什么呢？本文将为您详细解答。

首先，让我们回顾一下正切函数的定义。正切函数可以表示为 sin(x)/cos(x)，即：

\[

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

\]

根据商的求导法则，若函数 \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \)，则其导数为：

\[

f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}

\]

在这里，令 \( g(x) = \sin(x) \) 和 \( h(x) = \cos(x) \)，我们有：

\[

g'(x) = \cos(x), \quad h'(x) = -\sin(x)

\]

代入商的求导公式，得到：

\[

\tan'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{(\cos(x))^2}

\]

化简分子部分：

\[

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

\]

因此，导数变为：

\[

\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}

\]

进一步简化，可以写作：

\[

\tan'(x) = \sec^2(x)

\]

这里，\(\sec(x)\) 是余弦函数的倒数，即 \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\)。

总结来说，正切函数 tan(x) 的导数是 \(\sec^2(x)\)。这个结果在微积分和物理学中有着广泛的应用，尤其是在涉及周期性变化的问题中。

希望本文能够帮助您更好地理解 tan(x) 的导数及其推导过程。如果您对其他三角函数的导数感兴趣，也可以继续深入研究。