【一道题 莱布尼茨三角形】莱布尼茨三角形是数学中一个有趣的数列结构，类似于帕斯卡三角形，但其构造方式有所不同。它由德国哲学家、数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出，具有独特的规律性和对称性。本文将通过一道典型题目，介绍莱布尼茨三角形的构造规则，并以表格形式展示答案。

一、莱布尼茨三角形简介

莱布尼茨三角形的每一行中的元素都是分数，且每一行的最左边和最右边的数都是1。与帕斯卡三角形不同的是，莱布尼茨三角形中的每个数是由它下方两个数的和的倒数决定的。具体来说，第n行第k个数可以表示为：

$$

L(n, k) = \frac{1}{n} \cdot \binom{n-1}{k-1}

$$

其中，$\binom{n-1}{k-1}$ 是组合数。

二、题目示例

已知莱布尼茨三角形前几行如下：

```

1

1/21/2

1/31/61/3

1/41/12 1/12 1/4

```

请根据上述规律，写出第5行的莱布尼茨三角形。

三、解答过程

根据莱布尼茨三角形的构造规则，第n行有n个元素，且每个元素满足：

$$

L(n, k) = \frac{1}{n} \cdot \binom{n-1}{k-1}

$$

我们来计算第5行的各个元素：

- 第1项：$ L(5, 1) = \frac{1}{5} \cdot \binom{4}{0} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $

- 第2项：$ L(5, 2) = \frac{1}{5} \cdot \binom{4}{1} = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5} $

- 第3项：$ L(5, 3) = \frac{1}{5} \cdot \binom{4}{2} = \frac{1}{5} \cdot 6 = \frac{6}{5} $

- 第4项：$ L(5, 4) = \frac{1}{5} \cdot \binom{4}{3} = \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{5} $

- 第5项：$ L(5, 5) = \frac{1}{5} \cdot \binom{4}{4} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $

不过，这里需要注意，实际的莱布尼茨三角形在构造时，每个位置的值实际上是“上方两数之和的倒数”。因此，更准确的做法是根据已有行推导出下一行。

四、正确构造方法（递推法）

根据莱布尼茨三角形的递推关系，每个数等于其下方两个数的和的倒数。例如：

- 第4行：1/4, 1/12, 1/12, 1/4

- 第5行的第一项为 1/5

- 第二项为 1/(1/4 + 1/12) = 1/(1/3) = 3 → 1/3

- 第三项为 1/(1/12 + 1/12) = 1/(1/6) = 6 → 1/6

- 第四项为 1/(1/12 + 1/4) = 1/(1/3) = 3 → 1/3

- 第五项为 1/5

所以第5行应为：

```

1/51/31/61/31/5

```

五、总结与表格展示

六、结语

莱布尼茨三角形不仅体现了数学的美感，也展示了组合数与分数之间的奇妙联系。通过理解其构造规律，我们可以更好地掌握数列的生成逻辑，同时也能欣赏到数学背后的深刻思想。