【转动惯量与角动量公式】在物理学中，转动惯量和角动量是描述物体旋转运动的重要物理量。它们分别反映了物体对旋转运动的“惯性”和“动量”，是研究刚体动力学的基础内容。以下是对这两个概念及其相关公式的总结。
一、转动惯量（Moment of Inertia）
定义：
转动惯量是物体绕某一轴旋转时，其质量分布对旋转运动的阻碍程度的度量。它类似于平动中的质量，但与质量分布有关。
公式：
对于点质量，转动惯量为：
$$
I = mr^2
$$
其中：
- $ I $：转动惯量（单位：kg·m²）
- $ m $：质量（单位：kg）
- $ r $：质点到转轴的距离（单位：m）
对于刚体，转动惯量通过积分计算：
$$
I = \int r^2 dm
$$
常见物体的转动惯量（绕通过质心的轴）：
| 物体 | 转动惯量公式 |
| 实心圆柱体（绕中心轴） | $ \frac{1}{2}mr^2 $ |
| 空心圆柱体（绕中心轴） | $ mr^2 $ |
| 实心球体（绕直径） | $ \frac{2}{5}mr^2 $ |
| 空心球体（绕直径） | $ \frac{2}{3}mr^2 $ |
| 细棒（绕垂直于棒并通过中心的轴） | $ \frac{1}{12}mL^2 $ |
| 细棒（绕一端的轴） | $ \frac{1}{3}mL^2 $ |
二、角动量（Angular Momentum）
定义：
角动量是描述物体旋转运动的动量，类似于平动中的动量，但与角速度和转动惯量有关。
公式：
对于刚体或质点，角动量 $ L $ 的表达式为：
$$
L = I\omega
$$
其中：
- $ L $：角动量（单位：kg·m²/s）
- $ I $：转动惯量（单位：kg·m²）
- $ \omega $：角速度（单位：rad/s）
对于质点，角动量也可以表示为：
$$
L = r \times p = r \times mv
$$
其中：
- $ r $：质点位置矢量
- $ p $：动量（$ p = mv $）
三、角动量守恒定律
当系统所受的外力矩为零时，系统的总角动量保持不变，即：
$$
L_{\text{初始}} = L_{\text{最终}}
$$
这在花样滑冰、陀螺稳定、行星轨道等现象中都有广泛应用。
四、总结表格
| 概念 | 定义 | 公式 | 单位 | 备注 |
| 转动惯量 | 描述物体对旋转运动的阻碍程度 | $ I = \int r^2 dm $ 或 $ I = mr^2 $ | kg·m² | 与质量分布有关 |
| 角动量 | 描述旋转运动的动量 | $ L = I\omega $ 或 $ L = r \times mv $ | kg·m²/s | 与转动惯量和角速度有关 |
| 角动量守恒 | 外力矩为零时，角动量保持不变 | $ L_{\text{初始}} = L_{\text{最终}} $ | - | 应用于多种物理现象 |
通过理解转动惯量和角动量的公式及其应用，可以更深入地掌握刚体的旋转运动规律，并应用于工程、天文学、体育等多个领域。
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