【直线与圆的弦长公式是什么】在解析几何中，直线与圆相交时，所形成的线段称为“弦”。求解这条弦的长度是常见的数学问题之一。掌握直线与圆的弦长公式，有助于解决相关的几何问题，如圆的性质、直线与圆的位置关系等。

以下是对直线与圆的弦长公式的总结，并以表格形式展示关键信息和计算方法。

一、基本概念

- 直线：一般形式为 $ Ax + By + C = 0 $

- 圆：标准方程为 $ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $，其中 $(a, b)$ 是圆心，$r$ 是半径

- 弦：直线与圆的两个交点之间的线段

二、弦长公式

公式1：利用圆心到直线的距离

设圆心为 $ (a, b) $，半径为 $ r $，直线为 $ Ax + By + C = 0 $，则直线与圆的弦长 $ L $ 可用以下公式计算：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中：

- $ d $ 是圆心到直线的距离，计算公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

公式2：利用两点坐标

若已知直线与圆的两个交点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，则弦长为：

$$

L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$$

三、常见情况下的弦长计算

四、实际应用示例

假设圆的方程为 $ x^2 + y^2 = 4 $（即圆心在原点，半径为2），直线方程为 $ x + y = 1 $，求该直线与圆的弦长。

1. 圆心为 $ (0, 0) $，半径 $ r = 2 $

2. 直线 $ x + y - 1 = 0 $，所以 $ A = 1, B = 1, C = -1 $

3. 计算圆心到直线的距离：

$$

d = \frac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707

$$

4. 计算弦长：

$$

L = 2\sqrt{2^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{4 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{14} \approx 3.74

$$

五、总结

直线与圆的弦长公式是解析几何中的重要工具，适用于多种实际问题。根据已知条件的不同，可以选择不同的计算方式。理解并熟练使用这些公式，有助于提高几何问题的解决效率和准确性。

表格总结

通过以上内容，可以系统地掌握直线与圆的弦长公式及其应用场景。

以上就是【直线与圆的弦长公式是什么】相关内容，希望对您有所帮助。