【斯托克斯公式经典例题】斯托克斯公式是向量分析中的一个重要定理，广泛应用于流体力学、电磁学和物理学等领域。它将一个矢量场沿闭合曲线的环流量与该矢量场在曲面上的旋度通量联系起来。本文通过几个经典例题，帮助读者更好地理解斯托克斯公式的应用方法。
一、斯托克斯公式简介
斯托克斯公式（Stokes' Theorem）表述如下：
$$
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
$$
其中：
- $ C $ 是一个闭合曲线；
- $ S $ 是以 $ C $ 为边界的曲面；
- $ \mathbf{F} $ 是一个矢量场；
- $ \nabla \times \mathbf{F} $ 是矢量场的旋度；
- $ d\mathbf{S} $ 是曲面的法向微元。
二、经典例题解析
例题1：计算环流量
题目：设矢量场 $ \mathbf{F}(x, y, z) = (y, -x, z^2) $，求沿圆周 $ x^2 + y^2 = 1 $，$ z = 0 $ 的环流量。
解法步骤：
1. 确定边界曲线：圆周 $ x^2 + y^2 = 1 $，位于平面 $ z = 0 $ 上。
2. 选择曲面：取平面 $ z = 0 $ 上的单位圆盘作为曲面 $ S $。
3. 计算旋度：
$$
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
y & -x & z^2
\end{vmatrix}
= (0, 0, -2)
$$
4. 计算曲面积分：
$$
\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (-2) \, dA = -2 \times \text{面积} = -2 \pi
$$
答案：环流量为 $ -2\pi $
例题2：利用斯托克斯公式简化计算
题目：计算矢量场 $ \mathbf{F}(x, y, z) = (z, x, y) $ 沿曲线 $ C $ 的环流量，其中 $ C $ 是由点 $ (1, 0, 0) $ 到 $ (0, 1, 0) $ 再到 $ (0, 0, 1) $ 所围成的三角形。
解法步骤：
1. 选择合适的曲面：选取由三点组成的三角形所在的平面，例如 $ x + y + z = 1 $。
2. 计算旋度：
$$
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z & x & y
\end{vmatrix}
= (1, 1, 1)
$$
3. 计算曲面积分：
- 曲面方程：$ x + y + z = 1 $
- 法向量：$ \mathbf{n} = (1, 1, 1) $
- 面积元素：$ dS = \frac{1}{\sqrt{3}} dx dy $
- 积分区域：三角形在 $ x + y \leq 1 $ 范围内
- 计算：
$$
\iint_S (1, 1, 1) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) dS = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \text{面积} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
答案：环流量为 $ \frac{\sqrt{3}}{2} $
三、总结与表格
| 例题编号 | 矢量场 $ \mathbf{F} $ | 边界曲线 $ C $ | 旋度 $ \nabla \times \mathbf{F} $ | 曲面 $ S $ | 环流量结果 |
| 1 | $ (y, -x, z^2) $ | 圆周 $ x^2 + y^2 = 1 $ | $ (0, 0, -2) $ | 平面 $ z = 0 $ | $ -2\pi $ |
| 2 | $ (z, x, y) $ | 三角形 $ (1,0,0)\to(0,1,0)\to(0,0,1) $ | $ (1, 1, 1) $ | 平面 $ x + y + z = 1 $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ |
四、结语
斯托克斯公式在处理矢量场的环流量问题时具有极大的便利性，尤其在复杂曲线积分难以直接计算时，通过转换为曲面积分可以大大简化运算过程。掌握其应用方法对于学习高等数学、物理和工程学科具有重要意义。
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