【等比数列的所有公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。掌握等比数列的相关公式对于解决实际问题和数学分析具有重要意义。以下是对等比数列所有常用公式的总结。
一、基本概念
- 首项（a₁）：数列的第一个数。
- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。
- 第 n 项（aₙ）：数列中的第 n 个数。
- 前 n 项和（Sₙ）：从首项到第 n 项的总和。
二、等比数列公式汇总
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 第 n 项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | 用于求等比数列的任意一项 | ||
| 前 n 项和公式（当 $ r \neq 1 $） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 求前 n 项的和 | ||
| 无穷等比数列和（当 $ | r | < 1 $） | $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ | 当公比绝对值小于 1 时，无限项的和收敛 |
| 等比中项公式 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $ | 用于判断或构造等比数列中间项 | ||
| 通项公式（递推形式） | $ a_{n} = a_{n-1} \cdot r $ | 通过前一项递推得到下一项 |
三、应用示例
1. 已知首项为 3，公比为 2，求第 5 项：
$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $
2. 求首项为 2，公比为 3 的前 4 项和：
$ S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80 $
3. 若等比数列中 $ a = 4 $，$ c = 36 $，求中间项 $ b $：
$ b^2 = 4 \cdot 36 = 144 $，所以 $ b = 12 $ 或 $ b = -12 $
四、注意事项
- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，此时前 n 项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $。
- 当公比 $
- 在实际问题中，需根据题意判断是否为有限或无限数列，并选择合适的公式。
通过以上内容可以看出，等比数列的公式体系较为完整，能够满足大多数数学问题的需求。熟练掌握这些公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。
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