【三角函数公式所有公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。为了便于学习和查阅，以下是对常见三角函数公式的全面总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义
| 名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ | 对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{1}{\tan \theta}$ | 正切的倒数 |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | 余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | 正弦的倒数 |
二、常用恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 与正切相关 |
| $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 与余切相关 |
| $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos \theta$ | 偶函数性质 |
| $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ | 奇函数性质 |
三、角度加减公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ | 正弦的加减法公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ | 余弦的加减法公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ | 正切的加减法公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 两倍角的正弦 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ | 两倍角的余弦 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 两倍角的正切 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 半角的正弦 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 半角的余弦 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ | 半角的正切 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ | 正弦乘余弦 |
| $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ | 余弦乘余弦 |
| $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ | 正弦乘正弦 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦相加 |
| $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦相减 |
| $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦相加 |
| $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦相减 |
八、反三角函数简要公式
| 函数 | 表达式 | 说明 |
| $\arcsin x$ | $\sin^{-1} x$ | 反正弦函数 |
| $\arccos x$ | $\cos^{-1} x$ | 反余弦函数 |
| $\arctan x$ | $\tan^{-1} x$ | 反正切函数 |
通过以上内容的整理，可以系统地掌握三角函数的基本概念、常用公式及应用方法。对于初学者来说，理解这些公式并加以练习是提高数学能力的关键一步。
