【基础解系是怎么求出来的】在高等代数中，线性方程组的解是一个重要的研究对象。对于齐次线性方程组，其解的集合构成一个向量空间，而这个空间的一组基被称为“基础解系”。基础解系是求解齐次线性方程组通解的关键。
下面我们将从基础解系的概念出发，逐步讲解如何求出它的具体步骤，并通过表格形式进行总结。
一、基础解系的定义
对于一个齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
$$
其所有解组成的集合称为该方程组的解空间。如果这个解空间的维数为 $ r $，那么其中任意一组线性无关的解向量可以作为基础解系。
二、基础解系的求法步骤
1. 写出系数矩阵：将方程组的系数写成矩阵形式。
2. 对矩阵进行行变换：将其化为行最简形（或简化阶梯形）。
3. 确定自由变量和主变量：根据矩阵的秩，确定哪些变量是自由变量（可任意取值），哪些是主变量（由自由变量决定）。
4. 令自由变量为1或0：分别令每个自由变量为1，其余为0，求出对应的主变量值。
5. 得到基础解系：这些解向量即为该方程组的基础解系。
三、示例说明
考虑以下齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
步骤如下：
1. 系数矩阵为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
2. 行变换后得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 0
\end{bmatrix}
$$
3. 主变量为 $ x_1, x_2 $，自由变量为 $ x_3 $。
4. 令 $ x_3 = t $，则有：
- 由第二行得 $ -2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 $
- 由第一行得 $ x_1 + 0 + t = 0 \Rightarrow x_1 = -t $
5. 解为：
$$
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{bmatrix}
=
t
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
$$
因此，基础解系为：
$$
\left\{
\begin{bmatrix}
-1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
\right\}
$$
四、总结表格
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 写出齐次线性方程组的系数矩阵 |
| 2 | 对矩阵进行行变换，化为行最简形 |
| 3 | 确定主变量与自由变量 |
| 4 | 令自由变量为1或0，求解主变量 |
| 5 | 得到一组线性无关的解向量，即为基础解系 |
五、注意事项
- 基础解系中的向量必须是线性无关的；
- 如果自由变量个数为 $ n - r $，则基础解系中应有 $ n - r $ 个向量；
- 不同的自由变量赋值方式可能得到不同的基础解系，但它们都是等价的。
通过以上步骤，我们可以系统地求出齐次线性方程组的基础解系。掌握这一方法，有助于深入理解线性方程组的结构与性质。
以上就是【基础解系是怎么求出来的】相关内容，希望对您有所帮助。
