【高等数学基本公式】高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，涵盖了微积分、线性代数、微分方程等多个重要领域。掌握其基本公式对于理解和应用数学知识至关重要。以下是对高等数学中常见公式的总结，便于查阅和记忆。
一、函数与极限
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 极限定义 | $\lim_{x \to a} f(x) = L$ | 当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为 $L$ |
| 常见极限 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 |
| 无穷小比较 | 若 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小 |
二、导数与微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ | 函数在某点的瞬时变化率 |
| 基本导数 | $(x^n)' = nx^{n-1}$ | 幂函数求导法则 |
| 链式法则 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ | 复合函数求导方法 |
| 高阶导数 | $f''(x) = (f'(x))'$ | 二阶导数表示导数的变化率 |
三、积分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |
| 不定积分 | $\int f(x) dx = F(x) + C$ | 求原函数 | |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$ | 计算函数在区间上的面积 | |
| 分部积分法 | $\int u dv = uv - \int v du$ | 用于复杂函数的积分计算 | |
| 常见积分公式 | $\int e^x dx = e^x + C$ | 指数函数的积分 | |
| $\int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C$ | 对数函数的积分 |
四、微分方程
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $y' + P(x)y = Q(x)$ | 可用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | 分离变量后两边积分 |
| 二阶常系数齐次方程 | $ay'' + by' + cy = 0$ | 特征方程为 $ar^2 + br + c = 0$ |
五、级数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 等比数列求和 | $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ | $r \neq 1$ |
| 泰勒展开 | $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ | 展开函数为无穷级数 |
| 麦克劳林展开 | $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ | 泰勒展开的特例（以0为中心） |
六、向量与空间解析几何
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||
| 向量点积 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 向量间夹角的余弦值 | |
| 向量叉积 | $\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n}$ | 向量垂直方向的矢量 | |
| 平面方程 | $Ax + By + Cz + D = 0$ | 三维空间中平面的表达式 | ||||
| 直线参数方程 | $\vec{r} = \vec{r}_0 + t\vec{v}$ | 由一点和方向向量确定直线 |
七、多元函数微分
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 偏导数 | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | 对某一变量求导，其他变量视为常数 |
| 全微分 | $df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$ | 多元函数的微分形式 |
| 方向导数 | $\frac{\partial f}{\partial \vec{u}} = \nabla f \cdot \vec{u}$ | 函数沿某个方向的变化率 |
以上内容是对高等数学中常用公式的一个系统整理，旨在帮助学习者更好地掌握基础知识，提高解题效率。建议结合教材和习题进行深入理解与练习。
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