【等差数列经典试题(含答案)百度文库】在数学学习过程中，等差数列是一个非常重要的知识点，尤其在高中阶段的数列部分占据着核心地位。它不仅考查学生对数列基本概念的理解，还涉及公式的灵活运用和实际问题的分析能力。为了帮助广大学生更好地掌握这一内容，本文整理了一些关于等差数列的经典试题，并附有详细解答，便于大家复习与巩固。
一、等差数列的基本概念
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差值称为“公差”，通常用字母d表示。若一个数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
此外，等差数列的前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
掌握这些公式是解决等差数列相关问题的关键。
二、经典试题解析
题目1：
已知一个等差数列的第3项为8，第7项为20，求该数列的公差和首项。
解题思路：
设首项为a₁，公差为d。根据等差数列的通项公式：
$$
a_3 = a_1 + 2d = 8 \\
a_7 = a_1 + 6d = 20
$$
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a_1 + 2d = 8 \\
a_1 + 6d = 20
\end{cases}
$$
用第二个方程减去第一个方程，得：
$$
4d = 12 \Rightarrow d = 3
$$
代入第一个方程：
$$
a_1 + 2 \times 3 = 8 \Rightarrow a_1 = 2
$$
答案： 公差为3，首项为2。
题目2：
一个等差数列的前5项和为30，第5项为10，求该数列的第10项。
解题思路：
由题意可得：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5) = 30 \Rightarrow a_1 + a_5 = 12
$$
又因为 $ a_5 = a_1 + 4d = 10 $，所以：
$$
a_1 + (a_1 + 4d) = 12 \Rightarrow 2a_1 + 4d = 12 \Rightarrow a_1 + 2d = 6
$$
同时，$ a_1 + 4d = 10 $
联立两个方程：
$$
\begin{cases}
a_1 + 2d = 6 \\
a_1 + 4d = 10
\end{cases}
$$
相减得：$ 2d = 4 \Rightarrow d = 2 $，则 $ a_1 = 6 - 2 \times 2 = 2 $
因此，第10项为：
$$
a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 9 \times 2 = 20
$$
答案： 第10项为20。
题目3：
一个等差数列的第1项为5，公差为-3，求第10项和前10项的和。
解题过程：
根据通项公式：
$$
a_{10} = 5 + (10 - 1)(-3) = 5 - 27 = -22
$$
前10项和为：
$$
S_{10} = \frac{10}{2}(5 + (-22)) = 5 \times (-17) = -85
$$
答案： 第10项为-22，前10项和为-85。
三、总结
等差数列作为数列知识中的基础部分，其应用广泛，理解透彻有助于提升数学综合能力。通过练习经典试题，不仅能加深对公式的掌握，还能提高解题速度和准确率。希望本文提供的例题与解析能够帮助大家在学习过程中查漏补缺，稳步提升成绩。
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