在高中数学的学习过程中，不等式是一个非常重要的知识点，它贯穿于代数、函数等多个领域，并且在高考中占据着相当大的比重。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，本文将对高考常见的不等式公式进行系统的整理和总结。
一、基本不等式
1. 算术-几何平均不等式（AM-GM）
若 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 是非负实数，则有：
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n}
\]
等号成立当且仅当 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\)。
2. 柯西-施瓦茨不等式
对于任意两组实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，有：
\[
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
\]
等号成立当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}\) 或某一项为零。
3. 均值不等式
若 \(x_1, x_2, \ldots, x_n > 0\)，则有：
\[
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
\]
二、经典不等式
4. 赫尔德不等式
对于正整数 \(p, q > 1\) 满足 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，以及任意实数序列 \(a_i, b_i\)，有：
\[
\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left( \sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} \left( \sum_{i=1}^n |b_i|^q \right)^{\frac{1}{q}}
\]
5. 杨氏不等式
若 \(a, b > 0\) 且 \(p, q > 1\) 满足 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则有：
\[
ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}
\]
三、特殊不等式
6. 三角不等式
对于任意实数 \(a, b\)，有：
\[
|a + b| \leq |a| + |b|
\]
等号成立当且仅当 \(a\) 和 \(b\) 同号或至少有一个为零。
7. 绝对值不等式
对于任意实数 \(a, b\)，有：
\[
||a| - |b|| \leq |a - b| \leq |a| + |b|
\]
四、应用技巧
- 配方法：通过构造平方项或完全平方式来证明不等式。
- 反证法：假设结论不成立，推导出矛盾。
- 构造函数法：利用函数单调性或极值点来证明不等式。
以上便是高考中常用的不等式公式及其应用技巧的总结。希望这些内容能帮助大家在复习过程中更加高效地掌握不等式的相关知识，从而在考试中取得优异的成绩！
