在学习《经济数学基础12》这门课程的过程中，掌握基本概念和解题技巧是至关重要的。为了帮助大家更好地理解和应用所学知识，我们特别准备了这份综合练习以及详细的参考答案。
一、函数与极限
1. 题目：求函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 的极限当 \( x \to 2 \)。
解答：通过因式分解，\( f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \)，当 \( x \neq 2 \) 时，可以约去 \( x-2 \)，得到 \( f(x) = x + 2 \)。因此，当 \( x \to 2 \)，\( f(x) \to 4 \)。
2. 题目：讨论函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处的连续性。
解答：函数 \( g(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，而 \( g(0) \) 定义为 1（通常规定），因此 \( g(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续。
二、导数与微分
3. 题目：设 \( h(x) = e^{2x} \cdot \cos x \)，求 \( h'(x) \)。
解答：利用乘积法则，\( h'(x) = (e^{2x})' \cdot \cos x + e^{2x} \cdot (\cos x)' \)。计算得 \( h'(x) = 2e^{2x} \cos x - e^{2x} \sin x \)。
4. 题目：函数 \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \)，求其二阶导数 \( k''(x) \)。
解答：首先求一阶导数 \( k'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)，再求二阶导数 \( k''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \)。
三、积分
5. 题目：计算不定积分 \( \int (3x^2 + 2x + 1) dx \)。
解答：逐项积分，得到 \( \int (3x^2 + 2x + 1) dx = x^3 + x^2 + x + C \)，其中 \( C \) 为常数。
6. 题目：求定积分 \( \int_0^1 e^x dx \)。
解答：利用公式 \( \int e^x dx = e^x + C \)，计算得 \( \int_0^1 e^x dx = e^1 - e^0 = e - 1 \)。
四、线性代数初步
7. 题目：矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求其逆矩阵 \( A^{-1} \)。
解答：使用公式 \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) \)，其中 \( \text{det}(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2 \)，伴随矩阵 \( \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)。因此，\( A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} \)。
8. 题目：向量 \( u = (1, 2, 3) \) 和 \( v = (4, 5, 6) \)，求它们的点积。
解答：点积定义为 \( u \cdot v = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \)。
以上练习涵盖了《经济数学基础12》的主要知识点，希望大家能够通过这些题目巩固理论知识并提高解题能力。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系老师或同学。
