在高中数学的学习中，椭圆是一个重要的几何图形，它不仅在解析几何中有广泛的应用，还与物理学中的天体运动等实际问题密切相关。为了帮助同学们更好地掌握椭圆的相关知识，本文将系统整理高中数学选修中关于椭圆的常用公式，并结合实例进行讲解。

首先，我们来回顾一下椭圆的标准方程。椭圆的标准方程有两种形式：

1. 横轴为长轴时的标准方程：

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

其中 \(a > b > 0\)，\(a\) 表示半长轴长度，\(b\) 表示半短轴长度。

2. 纵轴为长轴时的标准方程：

\[ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \]

同样地，\(a > b > 0\)。

接下来是椭圆的一些重要性质和公式：

1. 焦距公式

椭圆的两个焦点之间的距离称为焦距，记作 \(2c\)。焦距满足关系式：

\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \]

2. 离心率公式

椭圆的离心率 \(e\) 定义为焦点到中心的距离与半长轴长度之比，即：

\[ e = \frac{c}{a} \]

离心率的取值范围为 \(0 < e < 1\)，当 \(e\) 越接近于 0 时，椭圆越接近于圆形；当 \(e\) 越接近于 1 时，椭圆越扁平。

3. 椭圆上的点到两焦点距离之和

椭圆上任意一点 \(P(x, y)\) 到两个焦点 \(F_1(-c, 0)\) 和 \(F_2(c, 0)\) 的距离之和恒等于 \(2a\)：

\[ |PF_1| + |PF_2| = 2a \]

4. 参数方程

椭圆还可以通过参数方程表示：

\[ x = a \cos t \]

\[ y = b \sin t \]

其中 \(t\) 是参数，通常取值范围为 \(0 \leq t < 2\pi\)。

实例应用

假设已知一个椭圆的半长轴 \(a = 5\)，半短轴 \(b = 3\)，求其焦距及离心率。

根据焦距公式：

\[ c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

因此，焦距 \(2c = 8\)。

再计算离心率：

\[ e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8 \]

通过以上分析可以看出，掌握椭圆的基本公式对于解决相关问题至关重要。希望这些内容能够帮助大家在学习过程中更加得心应手！