【等差数列和等比数列的通项公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的一组数。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种基本数列类型。它们各自具有独特的性质和规律，掌握它们的通项公式对于理解数列的变化趋势和解决实际问题具有重要意义。
一、等差数列
等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。这个固定的差称为“公差”，通常用字母 $ d $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差。
特点：
- 每一项都是前一项加上一个固定值；
- 图像为一条直线（若以项数为横坐标，数值为纵坐标）。
二、等比数列
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比都相等的数列。这个固定的比称为“公比”，通常用字母 $ r $ 表示。
通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
其中：
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ r $ 是公比。
特点：
- 每一项都是前一项乘以一个固定值；
- 图像为指数曲线（若以项数为横坐标，数值为纵坐标）。
三、对比总结
为了更清晰地了解等差数列和等比数列的区别，以下是一个简明的对比表格：
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差相等 | 每一项与前一项的比相等 |
| 公差 $ d $ | $ d = a_{n} - a_{n-1} $ | $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 变化趋势 | 线性变化 | 指数变化 |
| 示例 | 2, 5, 8, 11, 14...（$ d = 3 $） | 3, 6, 12, 24, 48...（$ r = 2 $） |
四、应用举例
等差数列应用：
例如，某工厂每天生产的产品数量依次为 100、105、110、115… 这是一个公差为 5 的等差数列。第 10 天的产量为：
$$
a_{10} = 100 + (10 - 1) \times 5 = 145
$$
等比数列应用：
例如，某银行年利率为 5%，本金为 1000 元，那么第 5 年的本息和为：
$$
a_5 = 1000 \times (1.05)^{5 - 1} = 1000 \times (1.05)^4 ≈ 1215.51
$$
五、小结
等差数列和等比数列是数列学习的基础内容，掌握它们的通项公式有助于我们更好地分析数列的变化规律，并在实际问题中进行建模和计算。通过对比它们的定义、公式和特性，可以更清晰地理解两者的区别与联系。
