【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于解决各种实际问题和理论分析。以下是对常见三角函数公式的总结。
一、基本定义公式
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 在直角三角形中，角θ的对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 在直角三角形中，角θ的邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ | 在直角三角形中，角θ的对边与邻边的比值 |
| 余切（cot） | $\cot \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ | 正切的倒数 |
| 正割（sec） | $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ | 余弦的倒数 |
| 余割（csc） | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ | 正弦的倒数 |
二、诱导公式（角度转换）
这些公式用于将任意角度的三角函数转换为锐角或标准角度的三角函数形式。
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 正弦是奇函数 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 余弦是偶函数 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 正弦在第二象限的对称性 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 余弦在第二象限的对称性 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 正弦在第三象限的符号变化 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 余弦在第三象限的符号变化 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 正弦在第四象限的符号变化 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 余弦在第四象限的符号变化 |
三、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 由基本恒等式推导 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 同上，用余切表示 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 余切与正弦、余弦的关系 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 正弦的和差角公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 余弦的和差角公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ | 正切的和差角公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ | 正弦的倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的三种表达方式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 正切的半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ | 正弦与余弦的乘积化和差 |
| $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ | 余弦与余弦的乘积化和差 |
| $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ | 正弦与正弦的乘积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦的和化积 |
| $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦的差化积 |
| $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦的和化积 |
| $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦的差化积 |
以上是三角函数中常用的公式分类和总结，涵盖了从基础定义到高级应用的多个方面。熟练掌握这些公式，能够帮助我们更高效地进行数学计算和问题分析。
