【交错级数莱布尼茨定理】一、概述

“交错级数莱布尼茨定理”是数学分析中用于判断交错级数收敛性的重要定理。该定理由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出，广泛应用于无穷级数的收敛性分析中。

交错级数是指其各项符号交替变化的级数，例如：

$$

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots

$$

其中 $a_n > 0$。

二、定理内容

莱布尼茨定理指出：

若一个交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n$ 满足以下两个条件：

1. 数列 $\{a_n\}$ 单调递减，即 $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$；

2. $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$；

则该级数 收敛。

此外，莱布尼茨还给出了误差估计：

若用前 $n$ 项的部分和 $S_n$ 近似整个级数的和 $S$，则误差满足：

$$

$$

三、总结与对比

四、应用举例

以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 为例：

- $a_n = \frac{1}{n}$，显然单调递减；

- $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$；

因此，根据莱布尼茨定理，该级数收敛，且其和为 $\ln(2)$。

五、注意事项

- 莱布尼茨定理仅提供充分条件，而非必要条件；

- 若不满足条件，则不能直接断定级数发散，需进一步分析；

- 对于非交错级数，该定理不适用。

六、结语

莱布尼茨定理是研究交错级数收敛性的有力工具，尤其在工程、物理和计算机科学等领域具有广泛应用。理解并掌握该定理，有助于更深入地分析无穷级数的行为。