【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，通常可以通过三角恒等式来计算其精确值。由于75°可以表示为45°与30°的和，因此我们可以使用正切的加法公式来求解。
一、公式推导
根据正切的加法公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则有：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $
代入得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
为了化简分母中的根号，我们对分子和分母同时乘以共轭 $ 3 + \sqrt{3} $：
$$
\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、结果总结
通过上述推导，我们得出：
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
这是一个保留根号的精确表达式，适用于需要准确值的数学计算或理论分析。
三、表格展示
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $ 2 + \sqrt{3} $ |
四、小结
tan75°的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，这个结果来源于正切加法公式与代数化简。在实际应用中，若需要更直观的数值近似，可进一步计算为约 $ 3.732 $，但在涉及精确计算时，保留根号形式更为合适。
