【狄利克雷函数的值域】狄利克雷函数（Dirichlet function）是数学分析中一个经典的非连续函数，它在实数集上定义，但其性质与通常的连续函数有显著不同。该函数因其特殊的构造方式和反直觉的特性而被广泛讨论。
狄利克雷函数的定义如下：
$$
D(x) =
\begin{cases}
1, & \text{当 } x \in \mathbb{Q} \text{（即 } x \text{ 是有理数）} \\
0, & \text{当 } x \notin \mathbb{Q} \text{（即 } x \text{ 是无理数）}
\end{cases}
$$
从这个定义可以看出，狄利克雷函数的取值只有两个可能：0 和 1。因此，它的值域非常简单，仅包含这两个元素。
狄利克雷函数的值域总结
| 概念 | 内容说明 |
| 函数名称 | 狄利克雷函数 |
| 定义域 | 所有实数 $ \mathbb{R} $ |
| 值域 | $ \{0, 1\} $ |
| 函数表达式 | $ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} $ |
| 是否连续 | 不连续（在每个点都不连续） |
| 是否可积 | 在黎曼积分意义下不可积，但在勒贝格积分下可积 |
| 特性 | 在任何区间内都无限次跳跃，具有高度不规则性 |
总结
狄利克雷函数虽然形式简单，但它在数学分析中具有重要的理论价值。它展示了函数可以具有极端的不连续性，并且其值域仅为两个离散的数值：0 和 1。这种简单的值域结构与复杂的函数行为形成鲜明对比，使得狄利克雷函数成为研究函数性质、连续性、可积性等概念的重要例子。
