首先回顾一下乘法规则的核心公式：若函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 可导，则它们的乘积 \( u(x)v(x) \) 的导数为：

\[

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

\]

为了更好地理解这个公式的由来，我们可以从定义出发进行推导。根据导数的定义，对于任意一个小的变化量 \( \Delta x \)，函数 \( u(x)v(x) \) 的变化可以表示为：

\[

\Delta [u(x)v(x)] = u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x)

\]

接下来，我们将这个差分表达式拆解开来，以便更清晰地观察每一部分的变化。注意到：

\[

\Delta [u(x)v(x)] = [u(x+\Delta x)-u(x)]v(x+\Delta x) + u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]

\]

进一步地，利用极限的思想，当 \( \Delta x \to 0 \) 时，\( u(x+\Delta x) \approx u(x) + u'(x)\Delta x \) 和 \( v(x+\Delta x) \approx v(x) + v'(x)\Delta x \) 成立。因此，上述表达式可以近似写成：

\[

\Delta [u(x)v(x)] \approx [u'(x)\Delta x]v(x) + u(x)[v'(x)\Delta x]

\]

两边同时除以 \( \Delta x \)，并取极限 \( \Delta x \to 0 \)，即可得到最终的导数公式：

\[

\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

\]

这种推导方式通过引入增量分析和极限思想，清晰地揭示了乘法规则的本质来源，同时也体现了微积分中“局部线性化”的核心理念。此外，这种方法不仅适用于具体的数值计算，还能帮助我们深入理解导数作为变化率的意义。

总之，通过对导数乘法规则的细致推导，我们不仅掌握了这一基本工具的应用技巧，也加深了对微积分整体框架的认识。希望本文提供的视角能够激发读者进一步探索数学奥秘的兴趣！