在数学学习中，一元二次不等式的求解是一个重要的知识点。这类问题通常涉及形如 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 的表达式。接下来，我们将通过一个具体的例子来详细讲解如何解一元二次不等式。

例题：

解不等式 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)。

第一步：确定方程的根

首先，我们需要找到对应的二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根。使用因式分解法：

\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

因此，方程的两个根为 \( x_1 = 2 \) 和 \( x_2 = 3 \)。

第二步：绘制数轴并标记关键点

根据根的位置，在数轴上标出 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \) 这两个关键点。这些点将数轴分为三个区间：\( (-\infty, 2) \)、\( (2, 3) \) 和 \( (3, +\infty) \)。

第三步：判断每个区间的符号

为了判断每个区间内函数值的符号，我们选择每个区间内的任意一点代入原不等式 \( x^2 - 5x + 6 \) 中进行验证。

1. 在区间 \( (-\infty, 2) \)，取 \( x = 1 \)：

\[

1^2 - 5(1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 > 0

\]

所以在 \( (-\infty, 2) \)，函数值大于零。

2. 在区间 \( (2, 3) \)，取 \( x = 2.5 \)：

\[

2.5^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0

\]

所以在 \( (2, 3) \)，函数值小于零。

3. 在区间 \( (3, +\infty) \)，取 \( x = 4 \)：

\[

4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0

\]

所以在 \( (3, +\infty) \)，函数值大于零。

第四步：结合不等式条件

根据题目要求 \( x^2 - 5x + 6 < 0 \)，我们需要寻找使函数值小于零的区间。从上述分析可知，函数值小于零的区间为 \( (2, 3) \)。

最终答案：

不等式的解集为 \( (2, 3) \)。

通过以上四个步骤，我们可以清晰地解决一元二次不等式的问题。这种方法不仅适用于简单的因式分解情况，还可以推广到更复杂的表达式中。希望这个详细的解答能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点！