【三角函数变换公式有哪些】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数变换公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数变换公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切、余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切、正割相关 |
二、诱导公式（角度转换）
| 角度 | 正弦 | 余弦 | 正切 |
| $-\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $2\pi - \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
三、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 正弦的和差角公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 余弦的和差角公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ | 正切的和差角公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 正弦的倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ | 正弦与余弦的积化和差 |
| $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ | 余弦与余弦的积化和差 |
| $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ | 正弦与正弦的积化和差 |
七、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦的和化积 |
| $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 正弦的差化积 |
| $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦的和化积 |
| $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 余弦的差化积 |
通过以上表格形式的整理，可以清晰地看到各种三角函数变换公式的结构与应用场景。在实际问题中，合理运用这些公式能够简化计算过程，提升解题效率。建议在学习过程中多做练习，加深对这些公式的理解和应用能力。
