【何谓正交矩阵】正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程以及计算机科学等领域。它在矩阵运算中具有特殊的性质，使得其在实际应用中非常高效和稳定。
一、正交矩阵的定义
一个n×n的实矩阵 Q 被称为正交矩阵，如果其转置矩阵与其自身的乘积等于单位矩阵，即：
$$
Q^T Q = I
$$
其中，$ Q^T $ 是 Q 的转置矩阵，$ I $ 是单位矩阵。这意味着正交矩阵的列向量（或行向量）之间是两两正交的，并且每个向量的长度为1（即单位向量）。
二、正交矩阵的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||
| 1. 列向量正交 | 正交矩阵的列向量两两正交，且模长为1 | ||||
| 2. 行向量正交 | 同样适用于行向量 | ||||
| 3. 逆等于转置 | $ Q^{-1} = Q^T $ | ||||
| 4. 行列式为 ±1 | 正交矩阵的行列式值为 +1 或 -1 | ||||
| 5. 保持向量长度不变 | 对于任意向量 x，有 $ \ | Qx\ | = \ | x\ | $ |
| 6. 保持内积不变 | 对于任意两个向量 x, y，有 $ (Qx) \cdot (Qy) = x \cdot y $ |
三、正交矩阵的应用
- 坐标变换：在三维几何中，正交矩阵常用于旋转和反射操作。
- 数值计算：由于正交矩阵的稳定性，它在求解线性方程组、特征值问题等数值算法中被广泛应用。
- 信号处理：如傅里叶变换、小波变换等，常使用正交矩阵进行数据转换。
- 机器学习：在降维、特征提取等任务中，正交矩阵有助于保留数据结构信息。
四、举例说明
以下是一个简单的 2×2 正交矩阵示例：
$$
Q = \begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
该矩阵表示绕原点的旋转变换，其转置矩阵为：
$$
Q^T = \begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
$$
验证：
$$
Q^T Q = \begin{bmatrix}
\cos^2\theta + \sin^2\theta & 0 \\
0 & \sin^2\theta + \cos^2\theta
\end{bmatrix} = I
$$
因此，这是一个标准的正交矩阵。
五、总结
正交矩阵是一种具有特殊结构的矩阵，其列（或行）向量构成一组正交单位向量。它在数学理论与实际应用中都具有重要价值，尤其在保持几何结构、简化计算方面表现突出。理解正交矩阵的性质和应用，有助于深入掌握线性代数的核心思想。
