【xlnx导数过程】在微积分中，求函数的导数是常见的问题之一。对于函数 $ f(x) = x \ln x $，其导数的计算需要用到乘积法则和对数函数的导数公式。本文将详细总结该函数的导数过程，并以表格形式展示关键步骤。
一、导数计算过程总结
1. 确定函数结构
函数 $ f(x) = x \ln x $ 是两个函数的乘积，即 $ u(x) = x $ 和 $ v(x) = \ln x $ 的乘积。
2. 应用乘积法则
根据乘积法则，若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则导数为：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 分别求出各部分的导数
- $ u(x) = x $，所以 $ u'(x) = 1 $
- $ v(x) = \ln x $，所以 $ v'(x) = \frac{1}{x} $
4. 代入乘积法则公式
将上述结果代入公式：
$$
f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}
$$
5. 化简表达式
简化后得到：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
二、关键步骤表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 函数形式：$ f(x) = x \ln x $ |
| 2 | 使用乘积法则：$ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ |
| 3 | 分解为 $ u(x) = x $, $ v(x) = \ln x $ |
| 4 | 求导：$ u'(x) = 1 $, $ v'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 5 | 代入公式：$ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} $ |
| 6 | 化简结果：$ f'(x) = \ln x + 1 $ |
三、结论
通过应用乘积法则和基本的导数公式，可以得出函数 $ f(x) = x \ln x $ 的导数为：
$$
f'(x) = \ln x + 1
$$
这一过程清晰展示了如何处理含有对数函数的乘积形式的导数计算，适用于类似的微积分问题。
