【常用傅里叶变换公式表】傅里叶变换是信号处理和物理分析中非常重要的工具，它能够将时域信号转换为频域表示，从而便于分析和处理。为了方便查阅和应用，本文总结了一些常见的傅里叶变换公式，以文字加表格的形式呈现，帮助读者快速掌握基本内容。
一、傅里叶变换的基本概念
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时间域（或空间域）转换到频率域。根据不同的定义方式，傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换（CFT）、离散傅里叶变换（DFT）以及快速傅里叶变换（FFT）等。本文主要介绍连续傅里叶变换的常用公式。
二、常用傅里叶变换公式总结
以下是一些常见的函数及其对应的傅里叶变换对，适用于连续时间信号。
| 原函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} $ | ||
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | ||
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | ||
| $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | ||
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | ||
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | ||
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | ||
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \text{rect}\left( \frac{\omega}{2\pi} \right) $ | ||
| $ e^{-a | t | } $ (a > 0) | $ \frac{2a}{a^2 + \omega^2} $ |
| $ e^{-at} u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j\omega} $ | ||
| $ \text{sgn}(t) $ | $ \frac{2}{j\omega} $ |
三、说明与注意事项
1. 单位与符号：傅里叶变换的定义形式可能因教材或领域而异，有些使用角频率 $ \omega $，有些使用频率 $ f $，需要注意单位换算。
2. 对称性：傅里叶变换具有对称性质，如实函数的傅里叶变换为共轭对称，这在实际应用中非常重要。
3. 卷积定理：傅里叶变换的一个重要性质是卷积定理，即时域的卷积对应于频域的乘积，反之亦然。
4. 能量守恒：根据帕塞瓦尔定理，信号在时域和频域中的能量是相等的，这一性质可用于验证计算是否正确。
四、结语
傅里叶变换是理解信号与系统行为的关键工具之一，掌握其基本公式有助于在工程、物理、通信等领域进行有效的分析和设计。本文整理了常用的傅里叶变换公式，希望对学习者和研究者提供一定的参考价值。在实际应用中，还需结合具体问题选择合适的变换方法，并注意边界条件和收敛性等问题。
