首先，让我们回顾一下与扇形相关的公式。扇形的弧长 \( L \) 可以通过以下公式计算：

\[ L = r \cdot \theta \]

其中 \( r \) 是圆的半径，\( \theta \) 是圆心角（以弧度为单位）。同时，扇形的面积 \( A \) 可表示为：

\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]

根据题目提供的信息，我们有：

\[ L = 20\pi \]

\[ A = 240\pi \]

从弧长公式 \( L = r \cdot \theta \)，我们可以得到：

\[ 20\pi = r \cdot \theta \]

即：

\[ \theta = \frac{20\pi}{r} \]

将此表达式代入面积公式 \( A = \frac{1}{2} r^2 \theta \) 中，我们得到：

\[ 240\pi = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{20\pi}{r} \]

\[ 240\pi = 10\pi r \]

通过简化方程，可以求得半径 \( r \)：

\[ r = \frac{240\pi}{10\pi} = 24 \]

有了半径 \( r = 24 \) 厘米后，我们可以再次使用弧长公式来求解圆心角 \( \theta \)：

\[ \theta = \frac{L}{r} = \frac{20\pi}{24} = \frac{5\pi}{6} \]

最后，将弧度转换为角度，我们知道 \( 1 \) 弧度等于 \( \frac{180^\circ}{\pi} \)，因此：

\[ \theta = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 150^\circ \]

综上所述，该扇形的圆心角为 \( 150^\circ \)。