【常用的求导公式】在微积分的学习过程中，导数是理解函数变化率的重要工具。掌握一些常见的求导公式，不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更深入地理解函数的性质。以下是一些在数学、物理和工程中经常用到的求导公式，以加表格的形式呈现。
一、基本初等函数的导数
1. 常数函数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则其导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数
若 $ f(x) = x^n $，其中 $ n $ 为实数，则其导数为：
$$
f'(x) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
若 $ f(x) = a^x $，其中 $ a > 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
特别地，当 $ a = e $ 时，导数为：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数
若 $ f(x) = \log_a x $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
当 $ a = e $ 时，即自然对数，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
- $ f(x) = \sin x $，导数为：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，导数为：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，导数为：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
- $ f(x) = \arcsin x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、导数的运算法则
1. 和差法则
若 $ f(x) = u(x) \pm v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x) \pm v'(x)
$$
2. 乘积法则
若 $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $，则：
$$
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则
若 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
4. 链式法则
若 $ f(x) = g(h(x)) $，则：
$$
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
三、常用导数公式表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过熟练掌握这些基本的求导公式和运算法则，可以快速解决许多与导数相关的问题，提升学习效率和应用能力。建议在实际练习中多做题、多归纳，逐步建立起自己的“导数公式库”。
